Интеграл dx/e^(2*x) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \frac{1}{e^{2 x}}$.

      Тогда пусть $du = - 2 e^{- 2 x} dx$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

      $\int \frac{1}{4}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{1}{2}\right)\, du = - \frac{\int 1\, du}{2}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{e^{- 2 x}}{2}$

   Метод #2

   1. пусть $u = e^{2 x}$.

      Тогда пусть $du = 2 e^{2 x} dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{1}{4 u^{2}}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{2 u^{2}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{2}}\, du}{2}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2 u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{e^{- 2 x}}{2}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{e^{- 2 x}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{e^{- 2 x}}{2}+ \mathrm{constant}$