Интеграл (2^x)^2 d{x}

1. пусть $u = 2^{x}$.

   Тогда пусть $du = 2^{x} \log{\left(2 \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{\log{\left(2 \right)}}$:

   $\int \frac{u}{\log{\left(2 \right)}^{2}}\, du$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{u}{\log{\left(2 \right)}}\, du = \frac{\int u\, du}{\log{\left(2 \right)}}$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{u^{2}}{2 \log{\left(2 \right)}}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $\frac{2^{2 x}}{2 \log{\left(2 \right)}}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{2^{2 x - 1}}{\log{\left(2 \right)}}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{2^{2 x - 1}}{\log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{2^{2 x - 1}}{\log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$