Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл 1/cosh(x)
Интеграл 1/(sqrt(x^2+1))
Интеграл 1/(x*sqrt(1-log(x)^(2)))
Интеграл (x^2)*sin(2*x)
Идентичные выражения
(два *x+ три)/(один - три *x^ два)
(2 умножить на x плюс 3) делить на (1 минус 3 умножить на x в квадрате )
(два умножить на x плюс три) делить на (один минус три умножить на x в степени два)
(2*x+3)/(1-3*x2)
2*x+3/1-3*x2
(2*x+3)/(1-3*x²)
(2*x+3)/(1-3*x в степени 2)
(2x+3)/(1-3x^2)
(2x+3)/(1-3x2)
2x+3/1-3x2
2x+3/1-3x^2
(2*x+3) разделить на (1-3*x^2)
(2*x+3)/(1-3*x^2)dx
Похожие выражения
(2*x-3)/(1-3*x^2)
(2*x+3)/(1+3*x^2)

Решение интегралов/ (2*x+3)/(1-3*x^2)

Интеграл (2x+3)/(1-3x^2) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1            
  /            
 |             
 |  2*x + 3    
 |  -------- dx
 |         2   
 |  1 - 3*x    
 |             
/              
0

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{2 x + 3}{- 3 x^{2} + 1}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{2 x + 3}{1 - 3 x^{2}} = - \frac{2 x + 3}{3 x^{2} - 1}$
2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \left(- \frac{2 x + 3}{3 x^{2} - 1}\right)\, dx = - \int \frac{2 x + 3}{3 x^{2} - 1}\, dx$
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\frac{2 x + 3}{3 x^{2} - 1} = \frac{2 x}{3 x^{2} - 1} + \frac{3}{3 x^{2} - 1}$
  2. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{2 x}{3 x^{2} - 1}\, dx = \frac{\int \frac{6 x}{3 x^{2} - 1}\, dx}{3}$
      
      пусть $u = 3 x^{2} - 1$ .
      
      Тогда пусть $du = 6 x dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{1}{3 u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(3 x^{2} - 1 \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(3 x^{2} - 1 \right)}}{3}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{3}{3 x^{2} - 1}\, dx = 3 \int \frac{1}{3 x^{2} - 1}\, dx$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\frac{1}{3 x^{2} - 1} = \frac{\sqrt{3}}{6} \left(- \frac{1}{x + \frac{\sqrt{3}}{3}} + \frac{1}{x - \frac{\sqrt{3}}{3}}\right)$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sqrt{3}}{6} \left(- \frac{1}{x + \frac{\sqrt{3}}{3}} + \frac{1}{x - \frac{\sqrt{3}}{3}}\right)\, dx = \frac{\sqrt{3} \int \left(- \frac{1}{x + \frac{\sqrt{3}}{3}} + \frac{1}{x - \frac{\sqrt{3}}{3}}\right)\, dx}{6}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл $\frac{1}{x - \frac{\sqrt{3}}{3}}$ есть $\log{\left(x - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}$ .
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{1}{x + \frac{\sqrt{3}}{3}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + \frac{\sqrt{3}}{3}}\, dx$
      
      Интеграл $\frac{1}{x + \frac{\sqrt{3}}{3}}$ есть $\log{\left(x + \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $- \log{\left(x + \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}$
      
      Результат есть: $\log{\left(x - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)} - \log{\left(x + \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sqrt{3} \left(\log{\left(x - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)} - \log{\left(x + \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}\right)}{6}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sqrt{3} \left(\log{\left(x - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)} - \log{\left(x + \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}\right)}{2}$
    Результат есть: $\frac{\sqrt{3} \left(\log{\left(x - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)} - \log{\left(x + \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}\right)}{2} + \frac{\log{\left(3 x^{2} - 1 \right)}}{3}$
  Таким образом, результат будет: $- \frac{\sqrt{3} \left(\log{\left(x - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)} - \log{\left(x + \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}\right)}{2} - \frac{\log{\left(3 x^{2} - 1 \right)}}{3}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{2 x + 3}{1 - 3 x^{2}} = \frac{- 2 x - 3}{3 x^{2} - 1}$
2. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{- 2 x - 3}{3 x^{2} - 1} = - \frac{2 x}{3 x^{2} - 1} - \frac{3}{3 x^{2} - 1}$
3. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{2 x}{3 x^{2} - 1}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{6 x}{3 x^{2} - 1}\, dx}{3}$
    1. пусть $u = 3 x^{2} - 1$ .
      
      Тогда пусть $du = 6 x dx$ и подставим $- \frac{du}{3}$ :
      
      $\int \left(- \frac{1}{3 u}\right)\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(3 x^{2} - 1 \right)}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(3 x^{2} - 1 \right)}}{3}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{3}{3 x^{2} - 1}\right)\, dx = - 3 \int \frac{1}{3 x^{2} - 1}\, dx$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\frac{1}{3 x^{2} - 1} = \frac{\sqrt{3}}{6} \left(- \frac{1}{x + \frac{\sqrt{3}}{3}} + \frac{1}{x - \frac{\sqrt{3}}{3}}\right)$
    2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sqrt{3}}{6} \left(- \frac{1}{x + \frac{\sqrt{3}}{3}} + \frac{1}{x - \frac{\sqrt{3}}{3}}\right)\, dx = \frac{\sqrt{3} \int \left(- \frac{1}{x + \frac{\sqrt{3}}{3}} + \frac{1}{x - \frac{\sqrt{3}}{3}}\right)\, dx}{6}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл $\frac{1}{x - \frac{\sqrt{3}}{3}}$ есть $\log{\left(x - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}$ .
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{1}{x + \frac{\sqrt{3}}{3}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + \frac{\sqrt{3}}{3}}\, dx$
      
      Интеграл $\frac{1}{x + \frac{\sqrt{3}}{3}}$ есть $\log{\left(x + \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $- \log{\left(x + \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}$
      
      Результат есть: $\log{\left(x - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)} - \log{\left(x + \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sqrt{3} \left(\log{\left(x - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)} - \log{\left(x + \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}\right)}{6}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\sqrt{3} \left(\log{\left(x - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)} - \log{\left(x + \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}\right)}{2}$
  Результат есть: $- \frac{\sqrt{3} \left(\log{\left(x - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)} - \log{\left(x + \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}\right)}{2} - \frac{\log{\left(3 x^{2} - 1 \right)}}{3}$
Метод #3
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{2 x + 3}{1 - 3 x^{2}} = \frac{2 x}{1 - 3 x^{2}} + \frac{3}{1 - 3 x^{2}}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{2 x}{1 - 3 x^{2}}\, dx = 2 \int \frac{x}{1 - 3 x^{2}}\, dx$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{x}{1 - 3 x^{2}}\, dx = - \frac{\int \left(- \frac{6 x}{1 - 3 x^{2}}\right)\, dx}{6}$
      
      пусть $u = 1 - 3 x^{2}$ .
      
      Тогда пусть $du = - 6 x dx$ и подставим $- \frac{du}{6}$ :
      
      $\int \left(- \frac{1}{6 u}\right)\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(1 - 3 x^{2} \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(1 - 3 x^{2} \right)}}{6}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(1 - 3 x^{2} \right)}}{3}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{3}{1 - 3 x^{2}}\, dx = 3 \int \frac{1}{1 - 3 x^{2}}\, dx$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\frac{1}{1 - 3 x^{2}} = - \frac{\sqrt{3}}{6} \left(- \frac{1}{x + \frac{\sqrt{3}}{3}} + \frac{1}{x - \frac{\sqrt{3}}{3}}\right)$
    2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int - \frac{\sqrt{3}}{6} \left(- \frac{1}{x + \frac{\sqrt{3}}{3}} + \frac{1}{x - \frac{\sqrt{3}}{3}}\right)\, dx = - \frac{\sqrt{3} \int \left(- \frac{1}{x + \frac{\sqrt{3}}{3}} + \frac{1}{x - \frac{\sqrt{3}}{3}}\right)\, dx}{6}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл $\frac{1}{x - \frac{\sqrt{3}}{3}}$ есть $\log{\left(x - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}$ .
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{1}{x + \frac{\sqrt{3}}{3}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + \frac{\sqrt{3}}{3}}\, dx$
      
      Интеграл $\frac{1}{x + \frac{\sqrt{3}}{3}}$ есть $\log{\left(x + \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $- \log{\left(x + \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}$
      
      Результат есть: $\log{\left(x - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)} - \log{\left(x + \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sqrt{3} \left(\log{\left(x - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)} - \log{\left(x + \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}\right)}{6}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\sqrt{3} \left(\log{\left(x - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)} - \log{\left(x + \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}\right)}{2}$
  Результат есть: $- \frac{\sqrt{3} \left(\log{\left(x - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)} - \log{\left(x + \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}\right)}{2} - \frac{\log{\left(1 - 3 x^{2} \right)}}{3}$
Теперь упростить:

$\frac{\sqrt{3} \left(- \log{\left(x - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)} + \log{\left(x + \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}\right)}{2} - \frac{\log{\left(3 x^{2} - 1 \right)}}{3}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{\sqrt{3} \left(- \log{\left(x - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)} + \log{\left(x + \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}\right)}{2} - \frac{\log{\left(3 x^{2} - 1 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\sqrt{3} \left(- \log{\left(x - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)} + \log{\left(x + \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}\right)}{2} - \frac{\log{\left(3 x^{2} - 1 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

                                            /     /      ___\      /      ___\\
  /                                     ___ |     |    \/ 3 |      |    \/ 3 ||
 |                      /        2\   \/ 3 *|- log|x + -----| + log|x - -----||
 | 2*x + 3           log\-1 + 3*x /         \     \      3  /      \      3  //
 | -------- dx = C - -------------- - -----------------------------------------
 |        2                3                              2                    
 | 1 - 3*x                                                                     
 |                                                                             
/

$$-{{\sqrt{3}\,\log \left({{6\,x-2\,\sqrt{3}}\over{6\,x+2\,\sqrt{3}}} \right)}\over{2}}-{{\log \left(3\,x^2-1\right)}\over{3}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

nan

$${{\sqrt{3}\,\log \left(\sqrt{3}+2\right)}\over{2}}-{{\log 2}\over{3 }}$$

nan

$$\text{NaN}$$

Упростить

Численный ответ [src]

2.9243493607317

2.9243493607317

График

$Интеграл (2*x+3)/(1-3*x^2) d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл (2x+3)/(1-3x^2) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3