Интеграл (2*x-4)^3 d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 2 x - 4$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u^{3}}{4}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{u^{3}}{2}\, du = \frac{\int u^{3}\, du}{2}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{4}}{8}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\left(2 x - 4\right)^{4}}{8}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(2 x - 4\right)^{3} = 8 x^{3} - 48 x^{2} + 96 x - 64$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 8 x^{3}\, dx = 8 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $2 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 48 x^{2}\right)\, dx = - 48 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $- 16 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 96 x\, dx = 96 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $48 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \left(-64\right)\, dx = - 64 x$

      Результат есть: $2 x^{4} - 16 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$

2. Теперь упростить:

   $2 \left(x - 2\right)^{4}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $2 \left(x - 2\right)^{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$2 \left(x - 2\right)^{4}+ \mathrm{constant}$