Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл log(x)^(2)/x
Интеграл x/e^x
Интеграл sin(x/2)^(2)
Интеграл x^3*sin(x)
Идентичные выражения
(два -x)*sin(три *x)
(2 минус x) умножить на синус от (3 умножить на x)
(два минус x) умножить на синус от (три умножить на x)
(2-x)sin(3x)
2-xsin3x
(2-x)*sin(3*x)dx
Похожие выражения
(2+x)*sin(3*x)

Решение интегралов/ (2-x)*sin(3*x)

Интеграл (2-x)sin(3x) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1                    
  /                    
 |                     
 |  (2 - x)*sin(3*x) dx
 |                     
/                      
0

$$\int\limits_{0}^{1} \left(- x + 2\right) \sin{\left(3 x \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. пусть $u = - x$ .
  
  Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $du$ :
  
  $\int \left(u \sin{\left(3 u \right)} + 2 \sin{\left(3 u \right)}\right)\, du$
  1. Интегрируем почленно:
    1. Используем интегрирование по частям:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      пусть $u{\left(u \right)} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \sin{\left(3 u \right)}$ .
      
      Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$ .
      
      Чтобы найти $v{\left(u \right)}$ :
      
      пусть $u = 3 u$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 du$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos{\left(3 u \right)}}{3}$
      
      Теперь решаем под-интеграл.
    2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{\cos{\left(3 u \right)}}{3}\right)\, du = - \frac{\int \cos{\left(3 u \right)}\, du}{3}$
      
      пусть $u = 3 u$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 du$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(3 u \right)}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(3 u \right)}}{9}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int 2 \sin{\left(3 u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(3 u \right)}\, du$
      
      пусть $u = 3 u$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 du$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos{\left(3 u \right)}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{2 \cos{\left(3 u \right)}}{3}$
    Результат есть: $- \frac{u \cos{\left(3 u \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(3 u \right)}}{9} - \frac{2 \cos{\left(3 u \right)}}{3}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $\frac{x \cos{\left(3 x \right)}}{3} - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{9} - \frac{2 \cos{\left(3 x \right)}}{3}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(2 - x\right) \sin{\left(3 x \right)} = - x \sin{\left(3 x \right)} + 2 \sin{\left(3 x \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- x \sin{\left(3 x \right)}\right)\, dx = - \int x \sin{\left(3 x \right)}\, dx$
    1. Используем интегрирование по частям:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}$ .
      
      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$ .
      
      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
      
      пусть $u = 3 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$
      
      Теперь решаем под-интеграл.
    2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(3 x \right)}\, dx}{3}$
      
      пусть $u = 3 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{9}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{x \cos{\left(3 x \right)}}{3} - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{9}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 2 \sin{\left(3 x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(3 x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = 3 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{2 \cos{\left(3 x \right)}}{3}$
  Результат есть: $\frac{x \cos{\left(3 x \right)}}{3} - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{9} - \frac{2 \cos{\left(3 x \right)}}{3}$
Метод #3
1. Используем интегрирование по частям:
  
  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
  
  пусть $u{\left(x \right)} = 2 - x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}$ .
  
  Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = -1$ .
  
  Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
  1. пусть $u = 3 x$ .
    
    Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
    
    $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{9}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$
  Теперь решаем под-интеграл.
2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}\, dx = \frac{\int \cos{\left(3 x \right)}\, dx}{3}$
  1. пусть $u = 3 x$ .
    
    Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
    
    $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$
  Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{9}$
Метод #4
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(2 - x\right) \sin{\left(3 x \right)} = - x \sin{\left(3 x \right)} + 2 \sin{\left(3 x \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- x \sin{\left(3 x \right)}\right)\, dx = - \int x \sin{\left(3 x \right)}\, dx$
    1. Используем интегрирование по частям:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}$ .
      
      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$ .
      
      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
      
      пусть $u = 3 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$
      
      Теперь решаем под-интеграл.
    2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(3 x \right)}\, dx}{3}$
      
      пусть $u = 3 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{9}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{x \cos{\left(3 x \right)}}{3} - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{9}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 2 \sin{\left(3 x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(3 x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = 3 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{2 \cos{\left(3 x \right)}}{3}$
  Результат есть: $\frac{x \cos{\left(3 x \right)}}{3} - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{9} - \frac{2 \cos{\left(3 x \right)}}{3}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{x \cos{\left(3 x \right)}}{3} - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{9} - \frac{2 \cos{\left(3 x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x \cos{\left(3 x \right)}}{3} - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{9} - \frac{2 \cos{\left(3 x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                            
 |                           2*cos(3*x)   sin(3*x)   x*cos(3*x)
 | (2 - x)*sin(3*x) dx = C - ---------- - -------- + ----------
 |                               3           9           3     
/

$${{-{{\sin \left(3\,x\right)-3\,x\,\cos \left(3\,x\right)}\over{3}}- 2\,\cos \left(3\,x\right)}\over{3}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

2   cos(3)   sin(3)
- - ------ - ------
3     3        9

$${{2}\over{3}}-{{\sin 3+3\,\cos 3}\over{9}}$$

2   cos(3)   sin(3)
- - ------ - ------
3     3        9

$$- \frac{\sin{\left(3 \right)}}{9} - \frac{\cos{\left(3 \right)}}{3} + \frac{2}{3}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.980984164637941

0.980984164637941

График

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл (2-x)sin(3x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3

Метод #4

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл (2-x)*sin(3*x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3

Метод #4

Интеграл (2-x)sin(3x) d{x}