Интеграл 4^(5*x) d{x}

1. пусть $u = 5 x$.

   Тогда пусть $du = 5 dx$ и подставим $\frac{du}{5}$:

   $\int \frac{4^{u}}{25}\, du$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{4^{u}}{5}\, du = \frac{\int 4^{u}\, du}{5}$

      1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

         $\int 4^{u}\, du = \frac{4^{u}}{\log{\left(4 \right)}}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{4^{u}}{5 \log{\left(4 \right)}}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $\frac{4^{5 x}}{5 \log{\left(4 \right)}}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1024^{x}}{10 \log{\left(2 \right)}}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1024^{x}}{10 \log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{1024^{x}}{10 \log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$