Интеграл (4*x+2)^4 d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 4 x + 2$.

      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

      $\int \frac{u^{4}}{16}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{u^{4}}{4}\, du = \frac{\int u^{4}\, du}{4}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{5}}{20}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\left(4 x + 2\right)^{5}}{20}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(4 x + 2\right)^{4} = 256 x^{4} + 512 x^{3} + 384 x^{2} + 128 x + 16$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 256 x^{4}\, dx = 256 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{256 x^{5}}{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 512 x^{3}\, dx = 512 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $128 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 384 x^{2}\, dx = 384 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $128 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 128 x\, dx = 128 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $64 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 16\, dx = 16 x$

      Результат есть: $\frac{256 x^{5}}{5} + 128 x^{4} + 128 x^{3} + 64 x^{2} + 16 x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{8 \left(2 x + 1\right)^{5}}{5}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{8 \left(2 x + 1\right)^{5}}{5}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{8 \left(2 x + 1\right)^{5}}{5}+ \mathrm{constant}$