Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл x*e^-x
Интеграл (tan(x))^3
Интеграл dx/(3-x^2)
Интеграл 1/(cos(x)^(6))
Идентичные выражения
(acot(x))/(x^ два)
( арккотангенс от (x)) делить на (x в квадрате )
( арккотангенс от (x)) делить на (x в степени два)
(acot(x))/(x2)
acotx/x2
(acot(x))/(x²)
(acot(x))/(x в степени 2)
acotx/x^2
(acot(x)) разделить на (x^2)
(acot(x))/(x^2)dx
Похожие выражения
acot(x)/(x^2+1)
(acot(x))/(x^2+1)
(acot(x))/x^2
acot(x)/x^2
(arccot(x))/(x^2)
(arccotx)/(x^2)

Интеграл (acot(x))/(x^2) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1           
  /           
 |            
 |  acot(x)   
 |  ------- dx
 |      2     
 |     x      
 |            
/             
0

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{\operatorname{acot}{\left(x \right)}}{x^{2}}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Используем интегрирование по частям:

$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

пусть $u{\left(x \right)} = \operatorname{acot}{\left(x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2}}$ .

Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2} + 1}$ .

Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
  
  $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$
Теперь решаем под-интеграл.
Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. пусть $u = \frac{1}{x}$ .
  
  Тогда пусть $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ и подставим $- du$ :
  
  $\int \frac{u}{u^{2} + 1}\, du$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{u}{u^{2} + 1}\right)\, du = - \int \frac{u}{u^{2} + 1}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{u}{u^{2} + 1}\, du = \frac{\int \frac{2 u}{u^{2} + 1}\, du}{2}$
      
      пусть $u = u^{2} + 1$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 u du$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{1}{2 u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(u^{2} + 1 \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{2}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $- \frac{\log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}}{2}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{1}{x \left(x^{2} + 1\right)} = - \frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{x}{x^{2} + 1}\right)\, dx = - \int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = x^{2} + 1$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{1}{2 u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x^{2} + 1 \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$
  1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left(x \right)}$ .
  Результат есть: $\log{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$
Метод #3
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{1}{x \left(x^{2} + 1\right)} = \frac{1}{x^{3} + x}$
2. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{1}{x^{3} + x} = - \frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x}$
3. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{x}{x^{2} + 1}\right)\, dx = - \int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = x^{2} + 1$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{1}{2 u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x^{2} + 1 \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$
  1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left(x \right)}$ .
  Результат есть: $\log{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$
Метод #4
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{1}{x \left(x^{2} + 1\right)} = \frac{1}{x^{3} + x}$
2. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{1}{x^{3} + x} = - \frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x}$
3. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{x}{x^{2} + 1}\right)\, dx = - \int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = x^{2} + 1$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{1}{2 u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x^{2} + 1 \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$
  1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left(x \right)}$ .
  Результат есть: $\log{\left(x \right)} - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{\log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}}{2} - \frac{\operatorname{acot}{\left(x \right)}}{x}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}}{2} - \frac{\operatorname{acot}{\left(x \right)}}{x}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

                       /    1 \          
  /                 log|1 + --|          
 |                     |     2|          
 | acot(x)             \    x /   acot(x)
 | ------- dx = C + ----------- - -------
 |     2                 2           x   
 |    x                                  
 |                                       
/

$${{\log \left(x^2+1\right)}\over{2}}-\log x-{{{\rm arccot}\; x }\over{x}}$$

Упростить

Ответ [src]

oo

$${\it \%a}$$

oo

$$\infty$$

Упростить

Численный ответ [src]

2.16663656678288e+19

2.16663656678288e+19

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл (acot(x))/(x^2) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3

Метод #4