Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
(2*x^2+x+677)/(x-5)
- (x^2+15)/(x+4)
- 10-3*x-x^2
- sqrt(12+x^2-4*x)/(x+1)
- Производная:
-
x^2*(2-x)^2
-
Идентичные выражения
- x^ два *(два -x)^ два
- x в квадрате умножить на (2 минус x) в квадрате
- x в степени два умножить на (два минус x) в степени два
- x2*(2-x)2
- x2*2-x2
- x²*(2-x)²
- x в степени 2*(2-x) в степени 2
- x^2(2-x)^2
- x2(2-x)2
- x22-x2
- x^22-x^2
-
Похожие выражения
- x^2*(2+x)^2
График функции y = x^2*(2-x)^2
Решение
Вы ввели
[src]
2 2 f(x) = x *(2 - x)
$$f{\left(x \right)} = x^{2} \left(- x + 2\right)^{2}$$
f = x^2*(2 - x)^2
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{2} \left(- x + 2\right)^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
значит надо решить уравнение:
$$x^{2} \left(- x + 2\right)^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$x^{2} \cdot \left(2 x - 4\right) + 2 x \left(- x + 2\right)^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 1$$
Убывает на промежутках
$$\left[0, 1\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[1, 2\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$x^{2} \cdot \left(2 x - 4\right) + 2 x \left(- x + 2\right)^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)
(1, 1)
(2, 0)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 1$$
Убывает на промежутках
$$\left[0, 1\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[1, 2\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \left(x^{2} + 4 x \left(x - 2\right) + \left(x - 2\right)^{2}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3} + 1$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} + 1$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{3}}{3} + 1\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3}}{3} + 1, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1, \frac{\sqrt{3}}{3} + 1\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \left(x^{2} + 4 x \left(x - 2\right) + \left(x - 2\right)^{2}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3} + 1$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} + 1$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{3}}{3} + 1\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3}}{3} + 1, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1, \frac{\sqrt{3}}{3} + 1\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \left(- x + 2\right)^{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \left(- x + 2\right)^{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \left(- x + 2\right)^{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \left(- x + 2\right)^{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^2*(2 - x)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(- x + 2\right)^{2}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(- x + 2\right)^{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(- x + 2\right)^{2}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(- x + 2\right)^{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{2} \left(- x + 2\right)^{2} = x^{2} \left(x + 2\right)^{2}$$
- Нет
$$x^{2} \left(- x + 2\right)^{2} = - x^{2} \left(x + 2\right)^{2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$x^{2} \left(- x + 2\right)^{2} = x^{2} \left(x + 2\right)^{2}$$
- Нет
$$x^{2} \left(- x + 2\right)^{2} = - x^{2} \left(x + 2\right)^{2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График