Господин Экзамен

Другие калькуляторы

x^2*(2-x)^2

  • Как пользоваться?

  • График функции y =:
  • x^2*sqrt(4-(x^2)) x^2*sqrt(4-(x^2))
  • 3*x^4+4*x^3-1
  • 2*x^2-4*x-2 2*x^2-4*x-2
  • (x-2)*exp(3-x) (x-2)*exp(3-x)
  • Производная:
  • x^2*(2-x)^2 x^2*(2-x)^2

  • Идентичные выражения

  • x^ два *(два -x)^ два
  • x в квадрате умножить на (2 минус x) в квадрате
  • x в степени два умножить на (два минус x) в степени два
  • x2*(2-x)2
  • x2*2-x2
  • x²*(2-x)²
  • x в степени 2*(2-x) в степени 2
  • x^2(2-x)^2
  • x2(2-x)2
  • x22-x2
  • x^22-x^2

  • Похожие выражения

  • x^2*(2+x)^2
Построение графика функции/ x^2*(2-x)^2

График функции y = x^2*(2-x)^2

v

График:

от до

Точки пересечения:

показывать?

Кусочно-заданная:

Решение

Вы ввели [src] 
        2        2
f(x) = x *(2 - x)
$$f{\left(x \right)} = x^{2} \left(- x + 2\right)^{2}$$ 
f = x^2*(2 - x)^2
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{2} \left(- x + 2\right)^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^2*(2 - x)^2.
$$0^{2} \left(\left(-1\right) 0 + 2\right)^{2}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$x^{2} \cdot \left(2 x - 4\right) + 2 x \left(- x + 2\right)^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)

(1, 1)

(2, 0)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 1$$
Убывает на промежутках
$$\left[0, 1\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[1, 2\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \left(x^{2} + 4 x \left(x - 2\right) + \left(x - 2\right)^{2}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3} + 1$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} + 1$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{3}}{3} + 1\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3}}{3} + 1, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1, \frac{\sqrt{3}}{3} + 1\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \left(- x + 2\right)^{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \left(- x + 2\right)^{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^2*(2 - x)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(- x + 2\right)^{2}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(- x + 2\right)^{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{2} \left(- x + 2\right)^{2} = x^{2} \left(x + 2\right)^{2}$$
- Нет
$$x^{2} \left(- x + 2\right)^{2} = - x^{2} \left(x + 2\right)^{2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = x^2*(2-x)^2
    © Господин Экзамен – Калькулятор