Производная x^2*(2-x)^2

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x^{2}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

   $g{\left(x \right)} = \left(2 - x\right)^{2}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = 2 - x$.

   2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(2 - x\right)$:

      1. дифференцируем $2 - x$ почленно:

         1. Производная постоянной $2$ равна нулю.

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $-1$

         В результате: $-1$

      В результате последовательности правил:

      $2 x - 4$

   В результате: $x^{2} \cdot \left(2 x - 4\right) + 2 x \left(2 - x\right)^{2}$

2. Теперь упростим:

   $4 x \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)$

Ответ:

$4 x \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)$