Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- log(9-x)^2
-
x^6+3*x^4-9*x^2
-
9*x+4
-
11*x/(4+x^2)
-
Идентичные выражения
- (sin(x)^ три)+(cos(x)^ три)
- ( синус от (x) в кубе ) плюс ( косинус от (x) в кубе )
- ( синус от (x) в степени три) плюс ( косинус от (x) в степени три)
- (sin(x)3)+(cos(x)3)
- sinx3+cosx3
- (sin(x)³)+(cos(x)³)
- (sin(x) в степени 3)+(cos(x) в степени 3)
- sinx^3+cosx^3
-
Похожие выражения
- sin(x)^3+cos(x)^3
- (sin(x))^3+(cos(x))^3
- sin(x)^(3)+cos(x)^(3)
- (sin(x)^3)-(cos(x)^3)
- (sinx^3)+(cosx^3)
График функции y = (sin(x)^3)+(cos(x)^3)
Решение
Вы ввели
[src]
3 3 f(x) = sin (x) + cos (x)
$$f{\left(x \right)} = \sin^{3}{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)}$$
f = sin(x)^3 + cos(x)^3
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin^{3}{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
Численное решение
$$x_{1} = 18.0641577581413$$
$$x_{2} = -57.3340659280137$$
$$x_{3} = -76.1836218495525$$
$$x_{4} = 90.3207887907066$$
$$x_{5} = 33.7721210260903$$
$$x_{6} = 68.329640215578$$
$$x_{7} = -47.9092879672443$$
$$x_{8} = -25.9181393921158$$
$$x_{9} = -19.6349540849362$$
$$x_{10} = -3902.64347392192$$
$$x_{11} = -44.7676953136546$$
$$x_{12} = -85.6083998103219$$
$$x_{13} = 99.7455667514759$$
$$x_{14} = 36.9137136796801$$
$$x_{15} = 62.0464549083984$$
$$x_{16} = -16.4933614313464$$
$$x_{17} = 8.63937979737193$$
$$x_{18} = 5.49778714378214$$
$$x_{19} = 52.621676947629$$
$$x_{20} = 11.7809724509617$$
$$x_{21} = -79.3252145031423$$
$$x_{22} = -69.9004365423729$$
$$x_{23} = 2.35619449019234$$
$$x_{24} = 46.3384916404494$$
$$x_{25} = -54.1924732744239$$
$$x_{26} = 1262.1348485797$$
$$x_{27} = -204.988920646734$$
$$x_{28} = -41.6261026600648$$
$$x_{29} = 80.8960108299372$$
$$x_{30} = -38.484510006475$$
$$x_{31} = 77.7544181763474$$
$$x_{32} = 96.6039740978861$$
$$x_{33} = 71.4712328691678$$
$$x_{34} = 150.011049208913$$
$$x_{35} = -63.6172512351933$$
$$x_{36} = -60.4756585816035$$
$$x_{37} = -3.92699081698724$$
$$x_{38} = 58.9048622548086$$
$$x_{39} = -91.8915851175014$$
$$x_{40} = -13.3517687777566$$
$$x_{41} = -35.3429173528852$$
$$x_{42} = 55.7632696012188$$
$$x_{43} = -10.2101761241668$$
$$x_{44} = 74.6128255227576$$
$$x_{45} = -32.2013246992954$$
$$x_{46} = 84.037603483527$$
$$x_{47} = 24.3473430653209$$
$$x_{48} = -98.174770424681$$
$$x_{49} = 40.0553063332699$$
$$x_{50} = 30.6305283725005$$
$$x_{51} = -82.4668071567321$$
значит надо решить уравнение:
$$\sin^{3}{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
Численное решение
$$x_{1} = 18.0641577581413$$
$$x_{2} = -57.3340659280137$$
$$x_{3} = -76.1836218495525$$
$$x_{4} = 90.3207887907066$$
$$x_{5} = 33.7721210260903$$
$$x_{6} = 68.329640215578$$
$$x_{7} = -47.9092879672443$$
$$x_{8} = -25.9181393921158$$
$$x_{9} = -19.6349540849362$$
$$x_{10} = -3902.64347392192$$
$$x_{11} = -44.7676953136546$$
$$x_{12} = -85.6083998103219$$
$$x_{13} = 99.7455667514759$$
$$x_{14} = 36.9137136796801$$
$$x_{15} = 62.0464549083984$$
$$x_{16} = -16.4933614313464$$
$$x_{17} = 8.63937979737193$$
$$x_{18} = 5.49778714378214$$
$$x_{19} = 52.621676947629$$
$$x_{20} = 11.7809724509617$$
$$x_{21} = -79.3252145031423$$
$$x_{22} = -69.9004365423729$$
$$x_{23} = 2.35619449019234$$
$$x_{24} = 46.3384916404494$$
$$x_{25} = -54.1924732744239$$
$$x_{26} = 1262.1348485797$$
$$x_{27} = -204.988920646734$$
$$x_{28} = -41.6261026600648$$
$$x_{29} = 80.8960108299372$$
$$x_{30} = -38.484510006475$$
$$x_{31} = 77.7544181763474$$
$$x_{32} = 96.6039740978861$$
$$x_{33} = 71.4712328691678$$
$$x_{34} = 150.011049208913$$
$$x_{35} = -63.6172512351933$$
$$x_{36} = -60.4756585816035$$
$$x_{37} = -3.92699081698724$$
$$x_{38} = 58.9048622548086$$
$$x_{39} = -91.8915851175014$$
$$x_{40} = -13.3517687777566$$
$$x_{41} = -35.3429173528852$$
$$x_{42} = 55.7632696012188$$
$$x_{43} = -10.2101761241668$$
$$x_{44} = 74.6128255227576$$
$$x_{45} = -32.2013246992954$$
$$x_{46} = 84.037603483527$$
$$x_{47} = 24.3473430653209$$
$$x_{48} = -98.174770424681$$
$$x_{49} = 40.0553063332699$$
$$x_{50} = 30.6305283725005$$
$$x_{51} = -82.4668071567321$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{5} = \frac{\pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{5} = \frac{\pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 1)
___ -3*pi -\/ 2 (------, -------) 4 2
-pi (----, -1) 2
___ pi \/ 2 (--, -----) 4 2
pi (--, 1) 2
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$3 \left(- \sin^{3}{\left(x \right)} + 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - \cos^{3}{\left(x \right)}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{- \sqrt{5} + 3}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{- \sqrt{5} + 3}}{2} + \frac{3}{2} \right)}$$
$$x_{5} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2} \right)}$$
$$x_{6} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{6} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} \right)}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{- \sqrt{5} + 3}}{2} + \frac{3}{2} \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$3 \left(- \sin^{3}{\left(x \right)} + 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - \cos^{3}{\left(x \right)}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{- \sqrt{5} + 3}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{- \sqrt{5} + 3}}{2} + \frac{3}{2} \right)}$$
$$x_{5} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2} \right)}$$
$$x_{6} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{6} \sqrt{\sqrt{5} + 3}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} \right)}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{- \sqrt{5} + 3}}{2} + \frac{3}{2} \right)}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin^{3}{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin^{3}{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin^{3}{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin^{3}{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x)^3 + cos(x)^3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{3}{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{3}{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{3}{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{3}{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin^{3}{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)} = - \sin^{3}{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)}$$
- Нет
$$\sin^{3}{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)} = \sin^{3}{\left(x \right)} - \cos^{3}{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\sin^{3}{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)} = - \sin^{3}{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)}$$
- Нет
$$\sin^{3}{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)} = \sin^{3}{\left(x \right)} - \cos^{3}{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График