Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- log(9-x)^2
-
x^6+3*x^4-9*x^2
-
9*x+4
-
11*x/(4+x^2)
- Производная:
-
x^6+3*x^4-9*x^2
-
Идентичные выражения
- x^ шесть + три *x^ четыре - девять *x^ два
- x в степени 6 плюс 3 умножить на x в степени 4 минус 9 умножить на x в квадрате
- x в степени шесть плюс три умножить на x в степени четыре минус девять умножить на x в степени два
- x6+3*x4-9*x2
- x⁶+3*x⁴-9*x²
- x в степени 6+3*x в степени 4-9*x в степени 2
- x^6+3x^4-9x^2
- x6+3x4-9x2
-
Похожие выражения
- x^6+3*x^4+9*x^2
- x^6-3*x^4-9*x^2
График функции y = x^6+3*x^4-9*x^2
Решение
Вы ввели
[src]
6 4 2 f(x) = x + 3*x - 9*x
$$f{\left(x \right)} = x^{6} + 3 x^{4} - 9 x^{2}$$
f = x^6 + 3*x^4 - 9*x^2
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{6} + 3 x^{4} - 9 x^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{- \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{5}}{2}}$$
$$x_{3} = \sqrt{- \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{5}}{2}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 1.36165412871613$$
$$x_{2} = -1.36165412871613$$
$$x_{3} = 0$$
значит надо решить уравнение:
$$x^{6} + 3 x^{4} - 9 x^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{- \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{5}}{2}}$$
$$x_{3} = \sqrt{- \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{5}}{2}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 1.36165412871613$$
$$x_{2} = -1.36165412871613$$
$$x_{3} = 0$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$6 x^{5} + 12 x^{3} - 18 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left[-1, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[0, 1\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$6 x^{5} + 12 x^{3} - 18 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
(-1, -5)
(0, 0)
(1, -5)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left[-1, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[0, 1\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$6 \cdot \left(5 x^{4} + 6 x^{2} - 3\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \sqrt{- \frac{3}{5} + \frac{2 \sqrt{6}}{5}}$$
$$x_{2} = \sqrt{- \frac{3}{5} + \frac{2 \sqrt{6}}{5}}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{- \frac{3}{5} + \frac{2 \sqrt{6}}{5}}\right] \cup \left[\sqrt{- \frac{3}{5} + \frac{2 \sqrt{6}}{5}}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \sqrt{- \frac{3}{5} + \frac{2 \sqrt{6}}{5}}, \sqrt{- \frac{3}{5} + \frac{2 \sqrt{6}}{5}}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$6 \cdot \left(5 x^{4} + 6 x^{2} - 3\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \sqrt{- \frac{3}{5} + \frac{2 \sqrt{6}}{5}}$$
$$x_{2} = \sqrt{- \frac{3}{5} + \frac{2 \sqrt{6}}{5}}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{- \frac{3}{5} + \frac{2 \sqrt{6}}{5}}\right] \cup \left[\sqrt{- \frac{3}{5} + \frac{2 \sqrt{6}}{5}}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \sqrt{- \frac{3}{5} + \frac{2 \sqrt{6}}{5}}, \sqrt{- \frac{3}{5} + \frac{2 \sqrt{6}}{5}}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{6} + 3 x^{4} - 9 x^{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{6} + 3 x^{4} - 9 x^{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{6} + 3 x^{4} - 9 x^{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{6} + 3 x^{4} - 9 x^{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^6 + 3*x^4 - 9*x^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{6} + 3 x^{4} - 9 x^{2}}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{6} + 3 x^{4} - 9 x^{2}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{6} + 3 x^{4} - 9 x^{2}}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{6} + 3 x^{4} - 9 x^{2}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{6} + 3 x^{4} - 9 x^{2} = x^{6} + 3 x^{4} - 9 x^{2}$$
- Да
$$x^{6} + 3 x^{4} - 9 x^{2} = - x^{6} - 3 x^{4} + 9 x^{2}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
Итак, проверяем:
$$x^{6} + 3 x^{4} - 9 x^{2} = x^{6} + 3 x^{4} - 9 x^{2}$$
- Да
$$x^{6} + 3 x^{4} - 9 x^{2} = - x^{6} - 3 x^{4} + 9 x^{2}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
График