Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
x^3+9*x^2+24*x+18
-
1/(atan(x))
-
(x-1)*(x+1)
-
log(x+6)
- Производная:
-
sin(x)+(1/3)*sin(3*x)
-
Идентичные выражения
- sin(x)+(один / три)*sin(три *x)
- синус от (x) плюс (1 делить на 3) умножить на синус от (3 умножить на x)
- синус от (x) плюс (один делить на три) умножить на синус от (три умножить на x)
- sin(x)+(1/3)sin(3x)
- sinx+1/3sin3x
- sin(x)+(1 разделить на 3)*sin(3*x)
-
Похожие выражения
- sin(x)-(1/3)*sin(3*x)
- sin(x)+1/3*sin(3*x)
- sinx+(1/3)*sin(3*x)
График функции y = sin(x)+(1/3)*sin(3*x)
Решение
Вы ввели
[src]
sin(3*x)
f(x) = sin(x) + --------
3
$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$$
f = sin(x) + sin(3*x)/3
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -2544.69004940773$$
$$x_{2} = 18.8495559215388$$
$$x_{3} = 56.5486677646163$$
$$x_{4} = 0$$
$$x_{5} = 37.6991118430775$$
$$x_{6} = 59.6902604182061$$
$$x_{7} = -21.9911485751286$$
$$x_{8} = 15.707963267949$$
$$x_{9} = 87.9645943005142$$
$$x_{10} = 100.530964914873$$
$$x_{11} = 78.5398163397448$$
$$x_{12} = -31.4159265358979$$
$$x_{13} = -9.42477796076938$$
$$x_{14} = 6.28318530717959$$
$$x_{15} = 34.5575191894877$$
$$x_{16} = -75.398223686155$$
$$x_{17} = -97.3893722612836$$
$$x_{18} = -28.2743338823081$$
$$x_{19} = -37.6991118430775$$
$$x_{20} = 94.2477796076938$$
$$x_{21} = -87.9645943005142$$
$$x_{22} = 81.6814089933346$$
$$x_{23} = -6.28318530717959$$
$$x_{24} = 21.9911485751286$$
$$x_{25} = 12.5663706143592$$
$$x_{26} = 65.9734457253857$$
$$x_{27} = 43.9822971502571$$
$$x_{28} = 72.2566310325652$$
$$x_{29} = -59.6902604182061$$
$$x_{30} = 47.1238898038469$$
$$x_{31} = 50.2654824574367$$
$$x_{32} = 25.1327412287183$$
$$x_{33} = -380.132711084365$$
$$x_{34} = 91.106186954104$$
$$x_{35} = -78.5398163397448$$
$$x_{36} = 28.2743338823081$$
$$x_{37} = -25.1327412287183$$
$$x_{38} = -53.4070751110265$$
$$x_{39} = 254.469004940773$$
$$x_{40} = -15.707963267949$$
$$x_{41} = -65.9734457253857$$
$$x_{42} = -40.8407044966673$$
$$x_{43} = -103.672557568463$$
$$x_{44} = -50.2654824574367$$
$$x_{45} = -94.2477796076938$$
$$x_{46} = -81.6814089933346$$
$$x_{47} = -43.9822971502571$$
$$x_{48} = -72.2566310325652$$
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -2544.69004940773$$
$$x_{2} = 18.8495559215388$$
$$x_{3} = 56.5486677646163$$
$$x_{4} = 0$$
$$x_{5} = 37.6991118430775$$
$$x_{6} = 59.6902604182061$$
$$x_{7} = -21.9911485751286$$
$$x_{8} = 15.707963267949$$
$$x_{9} = 87.9645943005142$$
$$x_{10} = 100.530964914873$$
$$x_{11} = 78.5398163397448$$
$$x_{12} = -31.4159265358979$$
$$x_{13} = -9.42477796076938$$
$$x_{14} = 6.28318530717959$$
$$x_{15} = 34.5575191894877$$
$$x_{16} = -75.398223686155$$
$$x_{17} = -97.3893722612836$$
$$x_{18} = -28.2743338823081$$
$$x_{19} = -37.6991118430775$$
$$x_{20} = 94.2477796076938$$
$$x_{21} = -87.9645943005142$$
$$x_{22} = 81.6814089933346$$
$$x_{23} = -6.28318530717959$$
$$x_{24} = 21.9911485751286$$
$$x_{25} = 12.5663706143592$$
$$x_{26} = 65.9734457253857$$
$$x_{27} = 43.9822971502571$$
$$x_{28} = 72.2566310325652$$
$$x_{29} = -59.6902604182061$$
$$x_{30} = 47.1238898038469$$
$$x_{31} = 50.2654824574367$$
$$x_{32} = 25.1327412287183$$
$$x_{33} = -380.132711084365$$
$$x_{34} = 91.106186954104$$
$$x_{35} = -78.5398163397448$$
$$x_{36} = 28.2743338823081$$
$$x_{37} = -25.1327412287183$$
$$x_{38} = -53.4070751110265$$
$$x_{39} = 254.469004940773$$
$$x_{40} = -15.707963267949$$
$$x_{41} = -65.9734457253857$$
$$x_{42} = -40.8407044966673$$
$$x_{43} = -103.672557568463$$
$$x_{44} = -50.2654824574367$$
$$x_{45} = -94.2477796076938$$
$$x_{46} = -81.6814089933346$$
$$x_{47} = -43.9822971502571$$
$$x_{48} = -72.2566310325652$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{5} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{6} = \frac{3 \pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{3} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{4}$$
Убывает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{3 \pi}{4}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{5} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{6} = \frac{3 \pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:
___ -3*pi -2*\/ 2 (------, ---------) 4 3
-pi (----, -2/3) 2
___ -pi -2*\/ 2 (----, ---------) 4 3
___ pi 2*\/ 2 (--, -------) 4 3
pi (--, 2/3) 2
___ 3*pi 2*\/ 2 (----, -------) 4 3
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{3} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{4}$$
Убывает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{3 \pi}{4}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- (\sin{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(3 x \right)}) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(-2 - \sqrt{5} i \right)}\right)}{2}$$
$$x_{4} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(-2 + \sqrt{5} i \right)}\right)}{2}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\pi, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2}\right] \cup \left[0, - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- (\sin{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(3 x \right)}) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(-2 - \sqrt{5} i \right)}\right)}{2}$$
$$x_{4} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(-2 + \sqrt{5} i \right)}\right)}{2}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\pi, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2}\right] \cup \left[0, - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}\right) = \left\langle - \frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle - \frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}\right) = \left\langle - \frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle - \frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}\right) = \left\langle - \frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle - \frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}\right) = \left\langle - \frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle - \frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x) + sin(3*x)/3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3} = - \sin{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$$
- Нет
$$\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3} = \sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3} = - \sin{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$$
- Нет
$$\sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3} = \sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График