Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
exp(sqrt(2)*sin(x))
- (log((|x+6|))/log(3))
-
x^3-12*x^2-9*x+1
-
cos(x)+sin(x)+cos(3*x)+sin(3*x)
- Интеграл d{x}:
-
x*sqrt(1+x)
- Предел функции:
-
x*sqrt(1+x)
- Производная:
-
x*sqrt(1+x)
-
Идентичные выражения
- x*sqrt(один +x)
- x умножить на квадратный корень из (1 плюс x)
- x умножить на квадратный корень из (один плюс x)
- x*√(1+x)
- xsqrt(1+x)
- xsqrt1+x
-
Похожие выражения
- sin(x)*sqrt(1+x^2)
- 1/x*sqrt(1+x^2)-sqrt(1-x^2)
- x*sqrt(1+x^2)
- x*sqrt(1-x)
График функции y = x*sqrt(1+x)
Решение
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x \sqrt{x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
значит надо решить уравнение:
$$x \sqrt{x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\sqrt{x + 1} + \frac{x}{2 \sqrt{x + 1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{2}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{2}{3}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[- \frac{2}{3}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{2}{3}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\sqrt{x + 1} + \frac{x}{2 \sqrt{x + 1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{2}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
___
-2*\/ 3
(-2/3, ---------)
9 Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{2}{3}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[- \frac{2}{3}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{2}{3}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{- \frac{x}{4 \left(x + 1\right)} + 1}{\sqrt{x + 1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{4}{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{- \frac{x}{4 \left(x + 1\right)} + 1}{\sqrt{x + 1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{4}{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \sqrt{x + 1}\right) = - \infty i$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \sqrt{x + 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \sqrt{x + 1}\right) = - \infty i$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \sqrt{x + 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*sqrt(1 + x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{x + 1} = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x + 1} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{x + 1} = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x + 1} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x \sqrt{x + 1} = - x \sqrt{- x + 1}$$
- Нет
$$x \sqrt{x + 1} = x \sqrt{- x + 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$x \sqrt{x + 1} = - x \sqrt{- x + 1}$$
- Нет
$$x \sqrt{x + 1} = x \sqrt{- x + 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График