Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
x^2-8*x-9
-
x^3-12*x^2+36*x+30
-
x*sin(1/x)
-
x^4/2
- Предел функции:
-
x*sin(1/x)
- Производная:
-
x*sin(1/x)
-
Идентичные выражения
- x*sin(один /x)
- x умножить на синус от (1 делить на x)
- x умножить на синус от (один делить на x)
- xsin(1/x)
- xsin1/x
- x*sin(1 разделить на x)
-
Похожие выражения
- sin(x)*sin(1/x)
- x*sin(1)/x
График функции y = x*sin(1/x)
Решение
Вы ввели
[src]
/ 1\
f(x) = x*sin|1*-|
\ x/
$$f{\left(x \right)} = x \sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$$
f = x*sin(1/x)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x \sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{1}{\pi}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.318309886183791$$
значит надо решить уравнение:
$$x \sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{1}{\pi}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.318309886183791$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} - \frac{\cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -42314.798461984$$
$$x_{2} = -11801.5713963528$$
$$x_{3} = 25494.0808534902$$
$$x_{4} = 9390.17882712825$$
$$x_{5} = 7695.1721243119$$
$$x_{6} = -32991.2092909147$$
$$x_{7} = 24646.4882156886$$
$$x_{8} = 16170.6287133314$$
$$x_{9} = -27905.6313719175$$
$$x_{10} = -40619.5984700161$$
$$x_{11} = -28753.2265249185$$
$$x_{12} = 12780.3528304711$$
$$x_{13} = 11085.2472504735$$
$$x_{14} = -12649.1268015143$$
$$x_{15} = 11932.7963857739$$
$$x_{16} = -27058.0367879985$$
$$x_{17} = -13496.6883408414$$
$$x_{18} = -22820.0746241929$$
$$x_{19} = -32143.6119273287$$
$$x_{20} = -10954.0235496446$$
$$x_{21} = -31296.0149360127$$
$$x_{22} = 23798.8964040481$$
$$x_{23} = 29732.0539618849$$
$$x_{24} = 22951.3055101033$$
$$x_{25} = 15323.0538900739$$
$$x_{26} = 32274.8438867786$$
$$x_{27} = -29600.822198113$$
$$x_{28} = 17018.2064665824$$
$$x_{29} = 17865.7867327802$$
$$x_{30} = -19429.7234310854$$
$$x_{31} = 27189.2682985119$$
$$x_{32} = -20277.3091678955$$
$$x_{33} = 42446.0308837659$$
$$x_{34} = -26210.4428283739$$
$$x_{35} = -38076.7998978638$$
$$x_{36} = -17734.5572628217$$
$$x_{37} = 41598.4307750453$$
$$x_{38} = -21124.8963893094$$
$$x_{39} = -41467.1983793308$$
$$x_{40} = 39055.6315237518$$
$$x_{41} = -16886.9773640064$$
$$x_{42} = -39771.9987451226$$
$$x_{43} = 28036.8629745587$$
$$x_{44} = -15191.825714434$$
$$x_{45} = -9258.95883733077$$
$$x_{46} = -36381.6019475619$$
$$x_{47} = -35534.0033488874$$
$$x_{48} = 18713.369170442$$
$$x_{49} = 19560.9534972764$$
$$x_{50} = 34817.6371394969$$
$$x_{51} = 35665.2355068933$$
$$x_{52} = -25362.8495556371$$
$$x_{53} = 38208.0321713516$$
$$x_{54} = -7563.95858775919$$
$$x_{55} = -18582.1393820539$$
$$x_{56} = 13627.9152205591$$
$$x_{57} = 10237.7072403896$$
$$x_{58} = 31427.2468354985$$
$$x_{59} = 37360.4330405425$$
$$x_{60} = -24515.2570410387$$
$$x_{61} = 30579.6501825125$$
$$x_{62} = -37229.2008029351$$
$$x_{63} = 22103.7156394291$$
$$x_{64} = 40750.8308380171$$
$$x_{65} = -21972.4849235058$$
$$x_{66} = 6847.70624844332$$
$$x_{67} = -33838.8069987955$$
$$x_{68} = 33970.0390649632$$
$$x_{69} = 28884.4582116784$$
$$x_{70} = -6716.49789803616$$
$$x_{71} = 39903.2310836223$$
$$x_{72} = 33122.4413057753$$
$$x_{73} = -10106.4851636254$$
$$x_{74} = 8542.66546353133$$
$$x_{75} = -8411.44821783076$$
$$x_{76} = -30448.418348057$$
$$x_{77} = -38924.3992166982$$
$$x_{78} = -16039.4000376645$$
$$x_{79} = 26341.6742377005$$
$$x_{80} = 14475.4825115465$$
$$x_{81} = -23667.6653660369$$
$$x_{82} = 21256.1269144408$$
$$x_{83} = -14344.2549267547$$
$$x_{84} = 36512.8341467568$$
$$x_{85} = -34686.4050257305$$
$$x_{86} = 20408.539477891$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -28753.2265249185$$
$$x_{2} = 11932.7963857739$$
$$x_{3} = -13496.6883408414$$
$$x_{4} = -22820.0746241929$$
$$x_{5} = -10954.0235496446$$
$$x_{6} = -9258.95883733077$$
$$x_{7} = 34817.6371394969$$
$$x_{8} = 38208.0321713516$$
$$x_{9} = -7563.95858775919$$
$$x_{10} = -37229.2008029351$$
$$x_{11} = -33838.8069987955$$
$$x_{12} = 8542.66546353133$$
$$x_{13} = -14344.2549267547$$
$$x_{14} = -34686.4050257305$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{14} = -29600.822198113$$
$$x_{14} = 17018.2064665824$$
$$x_{14} = 42446.0308837659$$
$$x_{14} = 41598.4307750453$$
$$x_{14} = -21124.8963893094$$
$$x_{14} = -39771.9987451226$$
$$x_{14} = 28036.8629745587$$
$$x_{14} = 40750.8308380171$$
$$x_{14} = 6847.70624844332$$
$$x_{14} = -23667.6653660369$$
Убывает на промежутках
$$\left[38208.0321713516, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -37229.2008029351\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} - \frac{\cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -42314.798461984$$
$$x_{2} = -11801.5713963528$$
$$x_{3} = 25494.0808534902$$
$$x_{4} = 9390.17882712825$$
$$x_{5} = 7695.1721243119$$
$$x_{6} = -32991.2092909147$$
$$x_{7} = 24646.4882156886$$
$$x_{8} = 16170.6287133314$$
$$x_{9} = -27905.6313719175$$
$$x_{10} = -40619.5984700161$$
$$x_{11} = -28753.2265249185$$
$$x_{12} = 12780.3528304711$$
$$x_{13} = 11085.2472504735$$
$$x_{14} = -12649.1268015143$$
$$x_{15} = 11932.7963857739$$
$$x_{16} = -27058.0367879985$$
$$x_{17} = -13496.6883408414$$
$$x_{18} = -22820.0746241929$$
$$x_{19} = -32143.6119273287$$
$$x_{20} = -10954.0235496446$$
$$x_{21} = -31296.0149360127$$
$$x_{22} = 23798.8964040481$$
$$x_{23} = 29732.0539618849$$
$$x_{24} = 22951.3055101033$$
$$x_{25} = 15323.0538900739$$
$$x_{26} = 32274.8438867786$$
$$x_{27} = -29600.822198113$$
$$x_{28} = 17018.2064665824$$
$$x_{29} = 17865.7867327802$$
$$x_{30} = -19429.7234310854$$
$$x_{31} = 27189.2682985119$$
$$x_{32} = -20277.3091678955$$
$$x_{33} = 42446.0308837659$$
$$x_{34} = -26210.4428283739$$
$$x_{35} = -38076.7998978638$$
$$x_{36} = -17734.5572628217$$
$$x_{37} = 41598.4307750453$$
$$x_{38} = -21124.8963893094$$
$$x_{39} = -41467.1983793308$$
$$x_{40} = 39055.6315237518$$
$$x_{41} = -16886.9773640064$$
$$x_{42} = -39771.9987451226$$
$$x_{43} = 28036.8629745587$$
$$x_{44} = -15191.825714434$$
$$x_{45} = -9258.95883733077$$
$$x_{46} = -36381.6019475619$$
$$x_{47} = -35534.0033488874$$
$$x_{48} = 18713.369170442$$
$$x_{49} = 19560.9534972764$$
$$x_{50} = 34817.6371394969$$
$$x_{51} = 35665.2355068933$$
$$x_{52} = -25362.8495556371$$
$$x_{53} = 38208.0321713516$$
$$x_{54} = -7563.95858775919$$
$$x_{55} = -18582.1393820539$$
$$x_{56} = 13627.9152205591$$
$$x_{57} = 10237.7072403896$$
$$x_{58} = 31427.2468354985$$
$$x_{59} = 37360.4330405425$$
$$x_{60} = -24515.2570410387$$
$$x_{61} = 30579.6501825125$$
$$x_{62} = -37229.2008029351$$
$$x_{63} = 22103.7156394291$$
$$x_{64} = 40750.8308380171$$
$$x_{65} = -21972.4849235058$$
$$x_{66} = 6847.70624844332$$
$$x_{67} = -33838.8069987955$$
$$x_{68} = 33970.0390649632$$
$$x_{69} = 28884.4582116784$$
$$x_{70} = -6716.49789803616$$
$$x_{71} = 39903.2310836223$$
$$x_{72} = 33122.4413057753$$
$$x_{73} = -10106.4851636254$$
$$x_{74} = 8542.66546353133$$
$$x_{75} = -8411.44821783076$$
$$x_{76} = -30448.418348057$$
$$x_{77} = -38924.3992166982$$
$$x_{78} = -16039.4000376645$$
$$x_{79} = 26341.6742377005$$
$$x_{80} = 14475.4825115465$$
$$x_{81} = -23667.6653660369$$
$$x_{82} = 21256.1269144408$$
$$x_{83} = -14344.2549267547$$
$$x_{84} = 36512.8341467568$$
$$x_{85} = -34686.4050257305$$
$$x_{86} = 20408.539477891$$
Зн. экстремумы в точках:
(-42314.798461984, 0.999999999906918)
(-11801.5713963528, 0.999999998803345)
(25494.0808534902, 0.999999999743569)
(9390.17882712825, 0.999999998109829)
(7695.1721243119, 0.99999999718543)
(-32991.2092909147, 0.999999999846873)
(24646.4882156886, 0.999999999725629)
(16170.6287133314, 0.999999999362625)
(-27905.6313719175, 0.999999999785975)
(-40619.5984700161, 0.999999999898987)
(-28753.2265249185, 0.999999999798407)
(12780.3528304711, 0.999999998979617)
(11085.2472504735, 0.999999998643693)
(-12649.1268015143, 0.999999998958336)
(11932.7963857739, 0.999999998829519)
(-27058.0367879985, 0.999999999772356)
(-13496.6883408414, 0.999999999085056)
(-22820.0746241929, 0.999999999679952)
(-32143.6119273287, 0.999999999838691)
(-10954.0235496446, 0.999999998611003)
(-31296.0149360127, 0.999999999829835)
(23798.8964040481, 0.999999999705737)
(29732.0539618849, 0.999999999811462)
(22951.3055101033, 0.999999999683602)
(15323.0538900739, 0.999999999290164)
(32274.8438867786, 0.99999999984)
(-29600.822198113, 0.999999999809787)
(17018.2064665824, 0.999999999424532)
(17865.7867327802, 0.999999999477839)
(-19429.7234310854, 0.999999999558516)
(27189.2682985119, 0.999999999774548)
(-20277.3091678955, 0.999999999594652)
(42446.0308837659, 0.999999999907493)
(-26210.4428283739, 0.999999999757395)
(-38076.7998978638, 0.999999999885045)
(-17734.5572628217, 0.999999999470083)
(41598.4307750453, 0.999999999903685)
(-21124.8963893094, 0.999999999626527)
(-41467.1983793308, 0.999999999903074)
(39055.6315237518, 0.999999999890735)
(-16886.9773640064, 0.999999999415553)
(-39771.9987451226, 0.999999999894636)
(28036.8629745587, 0.999999999787974)
(-15191.825714434, 0.999999999277848)
(-9258.95883733077, 0.999999998055874)
(-36381.6019475619, 0.999999999874083)
(-35534.0033488874, 0.999999999868004)
(18713.369170442, 0.999999999524068)
(19560.9534972764, 0.999999999564419)
(34817.6371394969, 0.999999999862517)
(35665.2355068933, 0.999999999868974)
(-25362.8495556371, 0.999999999740909)
(38208.0321713516, 0.999999999885833)
(-7563.95858775919, 0.999999997086933)
(-18582.1393820539, 0.999999999517322)
(13627.9152205591, 0.999999999102592)
(10237.7072403896, 0.999999998409831)
(31427.2468354985, 0.999999999831253)
(37360.4330405425, 0.999999999880594)
(-24515.2570410387, 0.999999999722683)
(30579.6501825125, 0.999999999821769)
(-37229.2008029351, 0.999999999879751)
(22103.7156394291, 0.999999999658871)
(40750.8308380171, 0.999999999899637)
(-21972.4849235058, 0.999999999654784)
(6847.70624844332, 0.999999996445664)
(-33838.8069987955, 0.999999999854448)
(33970.0390649632, 0.99999999985557)
(28884.4582116784, 0.999999999800235)
(-6716.49789803616, 0.999999996305438)
(39903.2310836223, 0.999999999895328)
(33122.4413057753, 0.999999999848084)
(-10106.4851636254, 0.999999998368269)
(8542.66546353133, 0.999999997716179)
(-8411.44821783076, 0.999999997644369)
(-30448.418348057, 0.999999999820229)
(-38924.3992166982, 0.999999999889997)
(-16039.4000376645, 0.999999999352153)
(26341.6742377005, 0.999999999759806)
(14475.4825115465, 0.999999999204605)
(-23667.6653660369, 0.999999999702465)
(21256.1269144408, 0.999999999631124)
(-14344.2549267547, 0.999999999189985)
(36512.8341467568, 0.999999999874986)
(-34686.4050257305, 0.999999999861474)
(20408.539477891, 0.999999999599848)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -28753.2265249185$$
$$x_{2} = 11932.7963857739$$
$$x_{3} = -13496.6883408414$$
$$x_{4} = -22820.0746241929$$
$$x_{5} = -10954.0235496446$$
$$x_{6} = -9258.95883733077$$
$$x_{7} = 34817.6371394969$$
$$x_{8} = 38208.0321713516$$
$$x_{9} = -7563.95858775919$$
$$x_{10} = -37229.2008029351$$
$$x_{11} = -33838.8069987955$$
$$x_{12} = 8542.66546353133$$
$$x_{13} = -14344.2549267547$$
$$x_{14} = -34686.4050257305$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{14} = -29600.822198113$$
$$x_{14} = 17018.2064665824$$
$$x_{14} = 42446.0308837659$$
$$x_{14} = 41598.4307750453$$
$$x_{14} = -21124.8963893094$$
$$x_{14} = -39771.9987451226$$
$$x_{14} = 28036.8629745587$$
$$x_{14} = 40750.8308380171$$
$$x_{14} = 6847.70624844332$$
$$x_{14} = -23667.6653660369$$
Убывает на промежутках
$$\left[38208.0321713516, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -37229.2008029351\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{1}{\pi}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{3}}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{3}}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{1}{\pi}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[\frac{1}{\pi}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{1}{\pi}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{3}}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{3}}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{1}{\pi}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[\frac{1}{\pi}, \infty\right)$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*sin(1/x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty} \sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty} \sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x \sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = x \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}$$
- Нет
$$x \sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = - x \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$x \sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = x \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}$$
- Нет
$$x \sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = - x \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График