Господин Экзамен

Lang:

Производная функции/ x*sqrt(1+x)

Производная x*sqrt(1+x)

Решение

Вы ввели [src]

    _______
x*\/ 1 + x

$$x \sqrt{x + 1}$$

d /    _______\
--\x*\/ 1 + x /
dx

$$\frac{d}{d x} x \sqrt{x + 1}$$

Преобразовать

Подробное решение

Применяем правило производной умножения:

$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

$f{\left(x \right)} = x$ ; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
$g{\left(x \right)} = \sqrt{x + 1}$ ; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Заменим $u = x + 1$ .
2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$
3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)$ :
  1. дифференцируем $x + 1$ почленно:
    1. Производная постоянной $1$ равна нулю.
    2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
    В результате: $1$
  В результате последовательности правил:
  
  $\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$
В результате: $\frac{x}{2 \sqrt{x + 1}} + \sqrt{x + 1}$
Теперь упростим:

$\frac{3 x + 2}{2 \sqrt{x + 1}}$

Ответ:

$\frac{3 x + 2}{2 \sqrt{x + 1}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

  _______        x     
\/ 1 + x  + -----------
                _______
            2*\/ 1 + x

$$\sqrt{x + 1} + \frac{x}{2 \sqrt{x + 1}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

        x    
1 - ---------
    4*(1 + x)
-------------
    _______  
  \/ 1 + x

$$\frac{- \frac{x}{4 \left(x + 1\right)} + 1}{\sqrt{x + 1}}$$

Упростить

Третья производная [src]

  /       x  \
3*|-2 + -----|
  \     1 + x/
--------------
          3/2 
 8*(1 + x)

$$\frac{3 \left(\frac{x}{x + 1} - 2\right)}{8 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$$

Упростить

График

Производная x*sqrt(1+x)