Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
1/log(x)
-
sin(x)^3+cos(x)^3
-
-x^3+9*x^2-15*x+1
-
log(4*x-x^2)
- Производная:
-
((sin(x))^4)+((cos(x))^4)
-
Идентичные выражения
- ((sin(x))^ четыре)+((cos(x))^ четыре)
- (( синус от (x)) в степени 4) плюс (( косинус от (x)) в степени 4)
- (( синус от (x)) в степени четыре) плюс (( косинус от (x)) в степени четыре)
- ((sin(x))4)+((cos(x))4)
- sinx4+cosx4
- ((sin(x))⁴)+((cos(x))⁴)
- sinx^4+cosx^4
-
Похожие выражения
- sin(x)^(4)+cos(x)^(4)
- ((sin(x))^4)-((cos(x))^4)
- ((sinx)^4)+((cosx)^4)
График функции y = ((sin(x))^4)+((cos(x))^4)
Решение
Вы ввели
[src]
4 4 f(x) = sin (x) + cos (x)
$$f{\left(x \right)} = \sin^{4}{\left(x \right)} + \cos^{4}{\left(x \right)}$$
f = sin(x)^4 + cos(x)^4
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin^{4}{\left(x \right)} + \cos^{4}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
значит надо решить уравнение:
$$\sin^{4}{\left(x \right)} + \cos^{4}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$4 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 4 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{5} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{6} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{7} = \frac{3 \pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{4} = 0$$
$$x_{4} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{3 \pi}{4}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$4 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 4 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{5} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{6} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{7} = \frac{3 \pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 1)
-3*pi (------, 1/2) 4
-pi (----, 1) 2
-pi (----, 1/2) 4
pi (--, 1/2) 4
pi (--, 1) 2
3*pi (----, 1/2) 4
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{4} = 0$$
$$x_{4} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{3 \pi}{4}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$4 \left(- \sin^{4}{\left(x \right)} + 6 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - \cos^{4}{\left(x \right)}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(-1 + \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \sqrt{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(-1 + \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \sqrt{2} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} \right)}$$
$$x_{5} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} \right)}$$
$$x_{6} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} \right)}$$
$$x_{7} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + 1 + \sqrt{2} \right)}$$
$$x_{8} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + 1 + \sqrt{2} \right)}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(-1 + \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \sqrt{2} \right)}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$4 \left(- \sin^{4}{\left(x \right)} + 6 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - \cos^{4}{\left(x \right)}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(-1 + \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \sqrt{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(-1 + \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \sqrt{2} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} \right)}$$
$$x_{5} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} \right)}$$
$$x_{6} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} \right)}$$
$$x_{7} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + 1 + \sqrt{2} \right)}$$
$$x_{8} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} + 1 + \sqrt{2} \right)}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(-1 + \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{2} + 2} + \sqrt{2} \right)}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{2} + 2} \right)}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin^{4}{\left(x \right)} + \cos^{4}{\left(x \right)}\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle 0, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin^{4}{\left(x \right)} + \cos^{4}{\left(x \right)}\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle 0, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin^{4}{\left(x \right)} + \cos^{4}{\left(x \right)}\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle 0, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin^{4}{\left(x \right)} + \cos^{4}{\left(x \right)}\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle 0, 2\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x)^4 + cos(x)^4, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{4}{\left(x \right)} + \cos^{4}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{4}{\left(x \right)} + \cos^{4}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{4}{\left(x \right)} + \cos^{4}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{4}{\left(x \right)} + \cos^{4}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin^{4}{\left(x \right)} + \cos^{4}{\left(x \right)} = \sin^{4}{\left(x \right)} + \cos^{4}{\left(x \right)}$$
- Да
$$\sin^{4}{\left(x \right)} + \cos^{4}{\left(x \right)} = - \sin^{4}{\left(x \right)} - \cos^{4}{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
Итак, проверяем:
$$\sin^{4}{\left(x \right)} + \cos^{4}{\left(x \right)} = \sin^{4}{\left(x \right)} + \cos^{4}{\left(x \right)}$$
- Да
$$\sin^{4}{\left(x \right)} + \cos^{4}{\left(x \right)} = - \sin^{4}{\left(x \right)} - \cos^{4}{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
График