Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
1/log(x)
-
sin(x)^3+cos(x)^3
-
-x^3+9*x^2-15*x+1
-
log(4*x-x^2)
-
Идентичные выражения
- -x^ три + девять *x^ два - пятнадцать *x+ один
- минус x в кубе плюс 9 умножить на x в квадрате минус 15 умножить на x плюс 1
- минус x в степени три плюс девять умножить на x в степени два минус пятнадцать умножить на x плюс один
- -x3+9*x2-15*x+1
- -x³+9*x²-15*x+1
- -x в степени 3+9*x в степени 2-15*x+1
- -x^3+9x^2-15x+1
- -x3+9x2-15x+1
-
Похожие выражения
- x^3+9*x^2-15*x+1
- -x^3+9*x^2+15*x+1
- -x^3+9*x^2-15*x-1
- -x^3-9*x^2-15*x+1
График функции y = -x^3+9*x^2-15*x+1
Решение
Вы ввели
[src]
3 2 f(x) = - x + 9*x - 15*x + 1
$$f{\left(x \right)} = - x^{3} + 9 x^{2} - 15 x + 1$$
f = -x^3 + 9*x^2 - 15*x + 1
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- x^{3} + 9 x^{2} - 15 x + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 3 + \frac{4}{\sqrt[3]{5 + \sqrt{39} i}} + \sqrt[3]{5 + \sqrt{39} i}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.0695462503620866$$
$$x_{2} = 2.10740359562163$$
$$x_{3} = 6.82305015401628$$
значит надо решить уравнение:
$$- x^{3} + 9 x^{2} - 15 x + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 3 + \frac{4}{\sqrt[3]{5 + \sqrt{39} i}} + \sqrt[3]{5 + \sqrt{39} i}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.0695462503620866$$
$$x_{2} = 2.10740359562163$$
$$x_{3} = 6.82305015401628$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 3 x^{2} + 18 x - 15 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 5$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 5$$
Убывает на промежутках
$$\left[1, 5\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 1\right] \cup \left[5, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 3 x^{2} + 18 x - 15 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 5$$
Зн. экстремумы в точках:
(1, -6)
(5, 26)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 5$$
Убывает на промежутках
$$\left[1, 5\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 1\right] \cup \left[5, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$6 \cdot \left(- x + 3\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 3$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 3\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[3, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$6 \cdot \left(- x + 3\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 3$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 3\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[3, \infty\right)$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x^{3} + 9 x^{2} - 15 x + 1\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{3} + 9 x^{2} - 15 x + 1\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x^{3} + 9 x^{2} - 15 x + 1\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{3} + 9 x^{2} - 15 x + 1\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции -x^3 + 9*x^2 - 15*x + 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{3} + 9 x^{2} - 15 x + 1}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{3} + 9 x^{2} - 15 x + 1}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{3} + 9 x^{2} - 15 x + 1}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{3} + 9 x^{2} - 15 x + 1}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- x^{3} + 9 x^{2} - 15 x + 1 = x^{3} + 9 x^{2} + 15 x + 1$$
- Нет
$$- x^{3} + 9 x^{2} - 15 x + 1 = - x^{3} - 9 x^{2} - 15 x - 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$- x^{3} + 9 x^{2} - 15 x + 1 = x^{3} + 9 x^{2} + 15 x + 1$$
- Нет
$$- x^{3} + 9 x^{2} - 15 x + 1 = - x^{3} - 9 x^{2} - 15 x - 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График