График функции y = -log((1+x)/(1-x))

Вы ввели [src]

           /1 + x\
f(x) = -log|-----|
           \1 - x/

$$f{\left(x \right)} = - \log{\left(\frac{x + 1}{- x + 1} \right)}$$

f = -log((x + 1)/(1 - x))

График функции

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- \log{\left(\frac{x + 1}{- x + 1} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в -log((1 + x)/(1 - x)).
$$- \log{\left(\frac{0 + 1}{\left(-1\right) 0 + 1} \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{\left(- x + 1\right) \left(\frac{1}{- x + 1} + \frac{x + 1}{\left(- x + 1\right)^{2}}\right)}{x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\left(1 - \frac{x + 1}{x - 1}\right) \left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}\right)}{x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(1 - \frac{x + 1}{x - 1}\right) \left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}\right)}{x + 1}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(1 - \frac{x + 1}{x - 1}\right) \left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}\right)}{x + 1}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 1$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \log{\left(\frac{x + 1}{- x + 1} \right)}\right) = - i \pi$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = - i \pi$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \log{\left(\frac{x + 1}{- x + 1} \right)}\right) = - i \pi$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = - i \pi$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции -log((1 + x)/(1 - x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{\log{\left(\frac{x + 1}{- x + 1} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\log{\left(\frac{x + 1}{- x + 1} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- \log{\left(\frac{x + 1}{- x + 1} \right)} = - \log{\left(\frac{- x + 1}{x + 1} \right)}$$
- Нет
$$- \log{\left(\frac{x + 1}{- x + 1} \right)} = \log{\left(\frac{- x + 1}{x + 1} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

График функции y = -log((1+x)/(1-x))

График:

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

Решение