Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
(x^2-x+1)/(x-1)
- 1/(sqrt(x^2-1))
- (x^4)/((x^3)-1)
-
(x^2)/4+x/16+1/4
- Предел функции:
-
log(1+x)/x
- Интеграл d{x}:
- log(1+x)/x
- Производная:
- log(1+x)/x
-
Идентичные выражения
- log(один +x)/x
- логарифм от (1 плюс x) делить на x
- логарифм от (один плюс x) делить на x
- log1+x/x
- log(1+x) разделить на x
-
Похожие выражения
- log(1-x)/x
График функции y = log(1+x)/x
Решение
Вы ввели
[src]
log(1 + x)
f(x) = ----------
x
$$f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x}$$
f = log(x + 1)/x
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}} + \frac{1}{x \left(x + 1\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}} + \frac{1}{x \left(x + 1\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\frac{2 \log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x + 1\right)}}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 33404.9421877672$$
$$x_{2} = 50199.1838391151$$
$$x_{3} = 54632.0133253451$$
$$x_{4} = 25436.3998158521$$
$$x_{5} = 41280.8058771747$$
$$x_{6} = 44634.2692667139$$
$$x_{7} = 53525.2713237633$$
$$x_{8} = 30003.1682628992$$
$$x_{9} = 46863.6592280305$$
$$x_{10} = 40160.2956637292$$
$$x_{11} = 49088.4346551584$$
$$x_{12} = 24288.2366369754$$
$$x_{13} = 42399.938133285$$
$$x_{14} = 39038.352976231$$
$$x_{15} = 28865.0539204223$$
$$x_{16} = 51308.8856408445$$
$$x_{17} = 57946.7549020607$$
$$x_{18} = 52417.5715282122$$
$$x_{19} = 55737.8244154703$$
$$x_{20} = 36789.9319288549$$
$$x_{21} = 37914.9193459999$$
$$x_{22} = 26581.8138384067$$
$$x_{23} = 31139.1145736486$$
$$x_{24} = 47976.6048424461$$
$$x_{25} = 45749.5605484089$$
$$x_{26} = 56842.7301606877$$
$$x_{27} = 32273.0050983156$$
$$x_{28} = 59049.9218377139$$
$$x_{29} = 35663.3230205899$$
$$x_{30} = 43517.743368545$$
$$x_{31} = 27724.6479781848$$
$$x_{32} = 34535.0195002856$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\frac{2 \log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x + 1\right)}}{x}\right) = \frac{2}{3}$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{2 \log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x + 1\right)}}{x}\right) = \frac{2}{3}$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\frac{2 \log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x + 1\right)}}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 33404.9421877672$$
$$x_{2} = 50199.1838391151$$
$$x_{3} = 54632.0133253451$$
$$x_{4} = 25436.3998158521$$
$$x_{5} = 41280.8058771747$$
$$x_{6} = 44634.2692667139$$
$$x_{7} = 53525.2713237633$$
$$x_{8} = 30003.1682628992$$
$$x_{9} = 46863.6592280305$$
$$x_{10} = 40160.2956637292$$
$$x_{11} = 49088.4346551584$$
$$x_{12} = 24288.2366369754$$
$$x_{13} = 42399.938133285$$
$$x_{14} = 39038.352976231$$
$$x_{15} = 28865.0539204223$$
$$x_{16} = 51308.8856408445$$
$$x_{17} = 57946.7549020607$$
$$x_{18} = 52417.5715282122$$
$$x_{19} = 55737.8244154703$$
$$x_{20} = 36789.9319288549$$
$$x_{21} = 37914.9193459999$$
$$x_{22} = 26581.8138384067$$
$$x_{23} = 31139.1145736486$$
$$x_{24} = 47976.6048424461$$
$$x_{25} = 45749.5605484089$$
$$x_{26} = 56842.7301606877$$
$$x_{27} = 32273.0050983156$$
$$x_{28} = 59049.9218377139$$
$$x_{29} = 35663.3230205899$$
$$x_{30} = 43517.743368545$$
$$x_{31} = 27724.6479781848$$
$$x_{32} = 34535.0195002856$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\frac{2 \log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x + 1\right)}}{x}\right) = \frac{2}{3}$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{2 \log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x + 1\right)}}{x}\right) = \frac{2}{3}$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(1 + x)/x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x} = - \frac{\log{\left(- x + 1 \right)}}{x}$$
- Нет
$$\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x} = \frac{\log{\left(- x + 1 \right)}}{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x} = - \frac{\log{\left(- x + 1 \right)}}{x}$$
- Нет
$$\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x} = \frac{\log{\left(- x + 1 \right)}}{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График