Производная log((1+x)/x)

Вы ввели [src]

   /1 + x\
log|-----|
   \  x  /

$$\log{\left(\frac{x + 1}{x} \right)}$$

d /   /1 + x\\
--|log|-----||
dx\   \  x  //

$$\frac{d}{d x} \log{\left(\frac{x + 1}{x} \right)}$$

Преобразовать

Подробное решение

Заменим $u = \frac{x + 1}{x}$ .
Производная $\log{\left(u \right)}$ является $\frac{1}{u}$ .
Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x + 1}{x}$ :
1. Применим правило производной частного:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = x + 1$ и $g{\left(x \right)} = x$ .
  
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. дифференцируем $x + 1$ почленно:
    1. Производная постоянной $1$ равна нулю.
    2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
    В результате: $1$
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
  Теперь применим правило производной деления:
  
  $- \frac{1}{x^{2}}$
В результате последовательности правил:

$- \frac{1}{x \left(x + 1\right)}$

Ответ:

$- \frac{1}{x \left(x + 1\right)}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

  /1   1 + x\
x*|- - -----|
  |x      2 |
  \      x  /
-------------
    1 + x

$$\frac{x \left(\frac{1}{x} - \frac{x + 1}{x^{2}}\right)}{x + 1}$$

Упростить

Вторая производная [src]

/    1 + x\ /  1     1  \
|1 - -----|*|- - - -----|
\      x  / \  x   1 + x/
-------------------------
          1 + x

$$\frac{\left(1 - \frac{x + 1}{x}\right) \left(- \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x}\right)}{x + 1}$$

Упростить

Третья производная [src]

  /    1 + x\ /1       1           1    \
2*|1 - -----|*|-- + -------- + ---------|
  \      x  / | 2          2   x*(1 + x)|
              \x    (1 + x)             /
-----------------------------------------
                  1 + x

$$\frac{2 \cdot \left(1 - \frac{x + 1}{x}\right) \left(\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x \left(x + 1\right)} + \frac{1}{x^{2}}\right)}{x + 1}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная log((1+x)/x)

График:

Кусочно-заданная:

Решение