Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
6*(t-sin(t))
-
sqrt(-x^2)
-
x^2+3
-
x^2-6+5
- Интеграл d{x}:
-
cos(x)^(4)
- Производная:
-
cos(x)^(4)
-
Идентичные выражения
- cos(x)^(четыре)
- косинус от (x) в степени (4)
- косинус от (x) в степени (четыре)
- cos(x)(4)
- cosx4
- cosx^4
-
Похожие выражения
- (sin(x)^2)/(cos(x)^4)-1
- ((sin(x))^4)+((cos(x))^4)
- cosx^(4)
График функции y = cos(x)^(4)
Решение
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos^{4}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 67.5449867319022$$
$$x_{2} = 58.1200312868449$$
$$x_{3} = -89.5359774768786$$
$$x_{4} = -51.8359986082336$$
$$x_{5} = 64.4022227094897$$
$$x_{6} = 4.71186425026897$$
$$x_{7} = 95.8191611950437$$
$$x_{8} = -83.2518382112953$$
$$x_{9} = 51.8368135303721$$
$$x_{10} = 42.4110507437587$$
$$x_{11} = 89.5358464044975$$
$$x_{12} = 36.1288337410562$$
$$x_{13} = -14.1367106446029$$
$$x_{14} = -73.8271872272585$$
$$x_{15} = 73.8279875350762$$
$$x_{16} = 26.7027138657113$$
$$x_{17} = -1.57129267637417$$
$$x_{18} = 29.8456391715984$$
$$x_{19} = 80.1114831041243$$
$$x_{20} = -67.5448065308884$$
$$x_{21} = -95.8183696553645$$
$$x_{22} = -39.2699360040648$$
$$x_{23} = -7.85359055632515$$
$$x_{24} = -23.5624641310095$$
$$x_{25} = 86.393394845477$$
$$x_{26} = -36.1278861189969$$
$$x_{27} = -61.2608756650826$$
$$x_{28} = -17.279021473451$$
$$x_{29} = 20.4198789484825$$
$$x_{30} = 14.1376276021486$$
$$x_{31} = -80.110238235034$$
$$x_{32} = -58.1190619806665$$
$$x_{33} = 29.8446819952113$$
$$x_{34} = 7.85446444955012$$
$$x_{35} = -29.8448005950739$$
$$x_{36} = -45.5536354157268$$
значит надо решить уравнение:
$$\cos^{4}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 67.5449867319022$$
$$x_{2} = 58.1200312868449$$
$$x_{3} = -89.5359774768786$$
$$x_{4} = -51.8359986082336$$
$$x_{5} = 64.4022227094897$$
$$x_{6} = 4.71186425026897$$
$$x_{7} = 95.8191611950437$$
$$x_{8} = -83.2518382112953$$
$$x_{9} = 51.8368135303721$$
$$x_{10} = 42.4110507437587$$
$$x_{11} = 89.5358464044975$$
$$x_{12} = 36.1288337410562$$
$$x_{13} = -14.1367106446029$$
$$x_{14} = -73.8271872272585$$
$$x_{15} = 73.8279875350762$$
$$x_{16} = 26.7027138657113$$
$$x_{17} = -1.57129267637417$$
$$x_{18} = 29.8456391715984$$
$$x_{19} = 80.1114831041243$$
$$x_{20} = -67.5448065308884$$
$$x_{21} = -95.8183696553645$$
$$x_{22} = -39.2699360040648$$
$$x_{23} = -7.85359055632515$$
$$x_{24} = -23.5624641310095$$
$$x_{25} = 86.393394845477$$
$$x_{26} = -36.1278861189969$$
$$x_{27} = -61.2608756650826$$
$$x_{28} = -17.279021473451$$
$$x_{29} = 20.4198789484825$$
$$x_{30} = 14.1376276021486$$
$$x_{31} = -80.110238235034$$
$$x_{32} = -58.1190619806665$$
$$x_{33} = 29.8446819952113$$
$$x_{34} = 7.85446444955012$$
$$x_{35} = -29.8448005950739$$
$$x_{36} = -45.5536354157268$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 4 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \pi$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Убывает на промежутках
$$\left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\pi, \frac{3 \pi}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 4 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \pi$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 1)
pi (--, 0) 2
(pi, 1)
3*pi (----, 0) 2
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Убывает на промежутках
$$\left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\pi, \frac{3 \pi}{2}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$4 \cdot \left(3 \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{\pi}{6}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$4 \cdot \left(3 \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{\pi}{6}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos^{4}{\left(x \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos^{4}{\left(x \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty} \cos^{4}{\left(x \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos^{4}{\left(x \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x)^4, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos^{4}{\left(x \right)} = \cos^{4}{\left(x \right)}$$
- Да
$$\cos^{4}{\left(x \right)} = - \cos^{4}{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
Итак, проверяем:
$$\cos^{4}{\left(x \right)} = \cos^{4}{\left(x \right)}$$
- Да
$$\cos^{4}{\left(x \right)} = - \cos^{4}{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
График