Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
(2*x^2+x+677)/(x-5)
- 7*cos(2*x)+5
- (3-x^2)^2
-
log(x^2/(2-x))
- Производная:
-
2*x/(1-x^2)
- Интеграл d{x}:
- 2*x/(1-x^2)
-
Идентичные выражения
- два *x/(один -x^ два)
- 2 умножить на x делить на (1 минус x в квадрате )
- два умножить на x делить на (один минус x в степени два)
- 2*x/(1-x2)
- 2*x/1-x2
- 2*x/(1-x²)
- 2*x/(1-x в степени 2)
- 2x/(1-x^2)
- 2x/(1-x2)
- 2x/1-x2
- 2x/1-x^2
- 2*x разделить на (1-x^2)
-
Похожие выражения
- atan(2*x/1-(x^2))
- 2*x/(1+x^2)
- (4-2*x)/(1-(x^(2)))
-
Что Вы имели ввиду?
- 2*x/(1 - x^2)
- 2*x*2/(1 - x)
- 2*x/((1 - x)^2)
- 2*x/1 - x^2
- 2*x/(1 - x^2)
- 2*x*2/(1 - x)
- 2*x/1 - x^2
Вы ввели:
2*x/(1-x^2)
Что Вы имели ввиду?
График функции y = 2*x/(1-x^2)
Решение
Вы ввели
[src]
2*x
f(x) = ------
2
1 - x
$$f{\left(x \right)} = \frac{2 x}{- x^{2} + 1}$$
f = 2*x/(1 - x^2)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{2 x}{- x^{2} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{2 x}{- x^{2} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{4 x^{2}}{\left(- x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{2}{- x^{2} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{4 x^{2}}{\left(- x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{2}{- x^{2} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{4 x \left(- \frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{4 x \left(- \frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{4 x \left(- \frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -1$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{4 x \left(- \frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{4 x \left(- \frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 1$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{4 x \left(- \frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{4 x \left(- \frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{4 x \left(- \frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -1$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{4 x \left(- \frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{4 x \left(- \frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} + 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 1$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x}{- x^{2} + 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{- x^{2} + 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x}{- x^{2} + 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{- x^{2} + 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*x/(1 - x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2}{- x^{2} + 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{- x^{2} + 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2}{- x^{2} + 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{- x^{2} + 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{2 x}{- x^{2} + 1} = - \frac{2 x}{- x^{2} + 1}$$
- Нет
$$\frac{2 x}{- x^{2} + 1} = \frac{2 x}{- x^{2} + 1}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{2 x}{- x^{2} + 1} = - \frac{2 x}{- x^{2} + 1}$$
- Нет
$$\frac{2 x}{- x^{2} + 1} = \frac{2 x}{- x^{2} + 1}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной
График