Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
x*sqrt(x)-3*x+1
-
(x^2)/(x^2-9)
-
2-2*x
- log(-cos(x)-sin(x))
-
Идентичные выражения
- (четыре - два *x)/(один -x^ два)
- (4 минус 2 умножить на x) делить на (1 минус x в квадрате )
- (четыре минус два умножить на x) делить на (один минус x в степени два)
- (4-2*x)/(1-x2)
- 4-2*x/1-x2
- (4-2*x)/(1-x²)
- (4-2*x)/(1-x в степени 2)
- (4-2x)/(1-x^2)
- (4-2x)/(1-x2)
- 4-2x/1-x2
- 4-2x/1-x^2
- (4-2*x) разделить на (1-x^2)
-
Похожие выражения
- (4-2*x)/(1+x^2)
- (4+2*x)/(1-x^2)
- (4-2*x)/(1-(x^(2)))
График функции y = (4-2*x)/(1-x^2)
Решение
Вы ввели
[src]
4 - 2*x
f(x) = -------
2
1 - x
$$f{\left(x \right)} = \frac{- 2 x + 4}{- x^{2} + 1}$$
f = (4 - 2*x)/(1 - x^2)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{- 2 x + 4}{- x^{2} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 2$$
Численное решение
$$x_{1} = 2$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{- 2 x + 4}{- x^{2} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 2$$
Численное решение
$$x_{1} = 2$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{2 x \left(- 2 x + 4\right)}{\left(- x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{2}{- x^{2} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \sqrt{3} + 2$$
$$x_{2} = \sqrt{3} + 2$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \sqrt{3} + 2$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \sqrt{3} + 2$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \sqrt{3} + 2, \sqrt{3} + 2\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{3} + 2\right] \cup \left[\sqrt{3} + 2, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{2 x \left(- 2 x + 4\right)}{\left(- x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{2}{- x^{2} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \sqrt{3} + 2$$
$$x_{2} = \sqrt{3} + 2$$
Зн. экстремумы в точках:
___
___ 2*\/ 3
(- \/ 3 + 2, --------------------)
2
/ ___ \
- \- \/ 3 + 2/ + 1 ___
___ -2*\/ 3
(\/ 3 + 2, ------------------)
2
/ ___ \
- \\/ 3 + 2/ + 1 Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \sqrt{3} + 2$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \sqrt{3} + 2$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \sqrt{3} + 2, \sqrt{3} + 2\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{3} + 2\right] \cup \left[\sqrt{3} + 2, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{4 \left(\left(x - 2\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) - 2 x\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \sqrt[3]{3} + 2 + 3^{\frac{2}{3}}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{4 \left(\left(x - 2\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) - 2 x\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{4 \left(\left(x - 2\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) - 2 x\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -1$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{4 \left(\left(x - 2\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) - 2 x\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{4 \left(\left(x - 2\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) - 2 x\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 1$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\sqrt[3]{3} + 2 + 3^{\frac{2}{3}}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \sqrt[3]{3} + 2 + 3^{\frac{2}{3}}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{4 \left(\left(x - 2\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) - 2 x\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \sqrt[3]{3} + 2 + 3^{\frac{2}{3}}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{4 \left(\left(x - 2\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) - 2 x\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{4 \left(\left(x - 2\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) - 2 x\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -1$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{4 \left(\left(x - 2\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) - 2 x\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{4 \left(\left(x - 2\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) - 2 x\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 1$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\sqrt[3]{3} + 2 + 3^{\frac{2}{3}}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \sqrt[3]{3} + 2 + 3^{\frac{2}{3}}\right]$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 2 x + 4}{- x^{2} + 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x + 4}{- x^{2} + 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 2 x + 4}{- x^{2} + 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x + 4}{- x^{2} + 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (4 - 2*x)/(1 - x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 2 x + 4}{x \left(- x^{2} + 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x + 4}{x \left(- x^{2} + 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 2 x + 4}{x \left(- x^{2} + 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x + 4}{x \left(- x^{2} + 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{- 2 x + 4}{- x^{2} + 1} = \frac{2 x + 4}{- x^{2} + 1}$$
- Нет
$$\frac{- 2 x + 4}{- x^{2} + 1} = - \frac{2 x + 4}{- x^{2} + 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{- 2 x + 4}{- x^{2} + 1} = \frac{2 x + 4}{- x^{2} + 1}$$
- Нет
$$\frac{- 2 x + 4}{- x^{2} + 1} = - \frac{2 x + 4}{- x^{2} + 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График