Производная x*tan(x)^(3)

Решение

Вы ввели [src]

     3   
x*tan (x)

$$x \tan^{3}{\left(x \right)}$$

d /     3   \
--\x*tan (x)/
dx

$$\frac{d}{d x} x \tan^{3}{\left(x \right)}$$

Преобразовать

Подробное решение

Применяем правило производной умножения:

$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

$f{\left(x \right)} = x$ ; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
$g{\left(x \right)} = \tan^{3}{\left(x \right)}$ ; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Заменим $u = \tan{\left(x \right)}$ .
2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$
3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$ :
  1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
    
    $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
  2. Применим правило производной частного:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
    Теперь применим правило производной деления:
    
    $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
  В результате последовательности правил:
  
  $\frac{3 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
В результате: $\frac{3 x \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \tan^{3}{\left(x \right)}$
Теперь упростим:

$\frac{3 x \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{4}{\left(x \right)}} + \tan^{3}{\left(x \right)}$

Ответ:

$\frac{3 x \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{4}{\left(x \right)}} + \tan^{3}{\left(x \right)}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

   3           2    /         2   \
tan (x) + x*tan (x)*\3 + 3*tan (x)/

$$x \left(3 \tan^{2}{\left(x \right)} + 3\right) \tan^{2}{\left(x \right)} + \tan^{3}{\left(x \right)}$$

Упростить

Вторая производная [src]

  /       2   \ /  /         2   \         \       
6*\1 + tan (x)/*\x*\1 + 2*tan (x)/ + tan(x)/*tan(x)

$$6 \left(x \left(2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + \tan{\left(x \right)}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)}$$

Упростить

Третья производная [src]

                /  /             2                                      \                           \
  /       2   \ |  |/       2   \         4           2    /       2   \|     /         2   \       |
6*\1 + tan (x)/*\x*\\1 + tan (x)/  + 2*tan (x) + 7*tan (x)*\1 + tan (x)// + 3*\1 + 2*tan (x)/*tan(x)/

$$6 \left(x \left(2 \tan^{4}{\left(x \right)} + 7 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(x \right)} + \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}\right) + 3 \cdot \left(2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная x*tan(x)^(3)

График:

Кусочно-заданная:

Решение