Производная x*sqrt(x)+(2/3*x^2)-(1/2*sqrt(x))+2*pi

1. дифференцируем $\sqrt{x} x - \frac{\sqrt{x}}{2} + \frac{2 x^{2}}{3} + 2 \pi$ почленно:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      $g{\left(x \right)} = \sqrt{x}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. В силу правила, применим: $\sqrt{x}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

      В результате: $\frac{3 \sqrt{x}}{2}$

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

      Таким образом, в результате: $\frac{4 x}{3}$

   3. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $\sqrt{x}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

         Таким образом, в результате: $\frac{1}{4 \sqrt{x}}$

      Таким образом, в результате: $- \frac{1}{4 \sqrt{x}}$

   4. Производная постоянной $2 \pi$ равна нулю.

   В результате: $\frac{3 \sqrt{x}}{2} + \frac{4 x}{3} - \frac{1}{4 \sqrt{x}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{16 x^{\frac{3}{2}} + 18 x - 3}{12 \sqrt{x}}$

Ответ:

$\frac{16 x^{\frac{3}{2}} + 18 x - 3}{12 \sqrt{x}}$