Производная x*e^(x/2)

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   $g{\left(x \right)} = e^{\frac{x}{2}}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = \frac{x}{2}$.

   2. Производная $e^{u}$ само оно.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x}{2}$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $\frac{1}{2}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

   В результате: $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{\left(x + 2\right) e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Ответ:

$\frac{\left(x + 2\right) e^{\frac{x}{2}}}{2}$