Производная x*e^sin(2*x-5)

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   $g{\left(x \right)} = e^{\sin{\left(2 x - 5 \right)}}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left(2 x - 5 \right)}$.

   2. Производная $e^{u}$ само оно.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(2 x - 5 \right)}$:

      1. Заменим $u = 2 x - 5$.

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(2 x - 5\right)$:

         1. дифференцируем $2 x - 5$ почленно:

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Таким образом, в результате: $2$

            2. Производная постоянной $\left(-1\right) 5$ равна нулю.

            В результате: $2$

         В результате последовательности правил:

         $2 \cos{\left(2 x - 5 \right)}$

      В результате последовательности правил:

      $2 e^{\sin{\left(2 x - 5 \right)}} \cos{\left(2 x - 5 \right)}$

   В результате: $2 x e^{\sin{\left(2 x - 5 \right)}} \cos{\left(2 x - 5 \right)} + e^{\sin{\left(2 x - 5 \right)}}$

2. Теперь упростим:

   $\left(2 x \cos{\left(2 x - 5 \right)} + 1\right) e^{\sin{\left(2 x - 5 \right)}}$

Ответ:

$\left(2 x \cos{\left(2 x - 5 \right)} + 1\right) e^{\sin{\left(2 x - 5 \right)}}$