Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Производная:
Производная cos(sin(x/3))^(2)
Производная acos(3*x^2)
Производная x^2+16/x^2
Производная x^3/4
Идентичные выражения
sin(x)*cos(четыре *x)+(один /(sqrt(x^ два + один)))
синус от (x) умножить на косинус от (4 умножить на x) плюс (1 делить на ( квадратный корень из (x в квадрате плюс 1)))
синус от (x) умножить на косинус от (четыре умножить на x) плюс (один делить на ( квадратный корень из (x в степени два плюс один)))
sin(x)*cos(4*x)+(1/(√(x^2+1)))
sin(x)*cos(4*x)+(1/(sqrt(x2+1)))
sinx*cos4*x+1/sqrtx2+1
sin(x)*cos(4*x)+(1/(sqrt(x²+1)))
sin(x)*cos(4*x)+(1/(sqrt(x в степени 2+1)))
sin(x)cos(4x)+(1/(sqrt(x^2+1)))
sin(x)cos(4x)+(1/(sqrt(x2+1)))
sinxcos4x+1/sqrtx2+1
sinxcos4x+1/sqrtx^2+1
sin(x)*cos(4*x)+(1 разделить на (sqrt(x^2+1)))
Похожие выражения
sin(x)*cos(4*x)+(1/(sqrt(x^2-1)))
sin(x)*cos(4*x)-(1/(sqrt(x^2+1)))
sinx*cos(4*x)+(1/(sqrt(x^2+1)))

Производная функции/ sin(x)*cos(4*x)+(1/(sqrt(x^2+1)))

Производная sin(x)cos(4x)+(1/(sqrt(x^2+1)))

Решение

Вы ввели [src]

                         1     
sin(x)*cos(4*x) + 1*-----------
                       ________
                      /  2     
                    \/  x  + 1

$$\sin{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)} + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$

d /                         1     \
--|sin(x)*cos(4*x) + 1*-----------|
dx|                       ________|
  |                      /  2     |
  \                    \/  x  + 1 /

$$\frac{d}{d x} \left(\sin{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)} + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}\right)$$

Преобразовать

Подробное решение

дифференцируем $\sin{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)} + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ почленно:
1. Применяем правило производной умножения:
  
  $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
  
  $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ ; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Производная синуса есть косинус:
    
    $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
  $g{\left(x \right)} = \cos{\left(4 x \right)}$ ; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Заменим $u = 4 x$ .
  2. Производная косинус есть минус синус:
    
    $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 4 x$ :
    1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      Таким образом, в результате: $4$
    В результате последовательности правил:
    
    $- 4 \sin{\left(4 x \right)}$
  В результате: $- 4 \sin{\left(x \right)} \sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)}$
2. Применим правило производной частного:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = \sqrt{x^{2} + 1}$ .
  
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Производная постоянной $1$ равна нулю.
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Заменим $u = x^{2} + 1$ .
  2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$
  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 1\right)$ :
    1. дифференцируем $x^{2} + 1$ почленно:
      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.
      2. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$
      В результате: $2 x$
    В результате последовательности правил:
    
    $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$
  Теперь применим правило производной деления:
  
  $- \frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$
В результате: $- \frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} - 4 \sin{\left(x \right)} \sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)}$
Теперь упростим:

$- \frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + 40 \left(\cos^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \cos{\left(x \right)} + 24 \cos^{3}{\left(x \right)} - 23 \cos{\left(x \right)}$

Ответ:

$- \frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + 40 \left(\cos^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \cos{\left(x \right)} + 24 \cos^{3}{\left(x \right)} - 23 \cos{\left(x \right)}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

                                               x          
cos(x)*cos(4*x) - 4*sin(x)*sin(4*x) - --------------------
                                                  ________
                                      / 2    \   /  2     
                                      \x  + 1/*\/  x  + 1

$$- 4 \sin{\left(x \right)} \sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)} - \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1} \left(x^{2} + 1\right)}$$

Упростить

Вторая производная [src]

                                                                2   
       1                                                     3*x    
- ----------- - 17*cos(4*x)*sin(x) - 8*cos(x)*sin(4*x) + -----------
          3/2                                                    5/2
  /     2\                                               /     2\   
  \1 + x /                                               \1 + x /

$$- 17 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)} - 8 \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{3 x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{5}{2}}} - \frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$$

Упростить

Третья производная [src]

                             3                                      
                         15*x           9*x                         
-49*cos(x)*cos(4*x) - ----------- + ----------- + 76*sin(x)*sin(4*x)
                              7/2           5/2                     
                      /     2\      /     2\                        
                      \1 + x /      \1 + x /

$$76 \sin{\left(x \right)} \sin{\left(4 x \right)} - 49 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)} - \frac{15 x^{3}}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{7}{2}}} + \frac{9 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{5}{2}}}$$

Упростить

График

Производная sin(x)*cos(4*x)+(1/(sqrt(x^2+1)))

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная sin(x)cos(4x)+(1/(sqrt(x^2+1)))

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная sin(x)*cos(4*x)+(1/(sqrt(x^2+1)))

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Производная sin(x)cos(4x)+(1/(sqrt(x^2+1)))