Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Производная:
Производная cos(sin(x)^(2))
Производная 7/x^4-11*x^2
Производная 3*t^2-e^(3*t)+1
Производная (1/(1+(x^2)))
Идентичные выражения
sin(x/ три)^(два)*cot(x/ два)*cos(x/ два)
синус от (x делить на 3) в степени (2) умножить на котангенс от (x делить на 2) умножить на косинус от (x делить на 2)
синус от (x делить на три) в степени (два) умножить на котангенс от (x делить на два) умножить на косинус от (x делить на два)
sin(x/3)(2)*cot(x/2)*cos(x/2)
sinx/32*cotx/2*cosx/2
sin(x/3)^(2)cot(x/2)cos(x/2)
sin(x/3)(2)cot(x/2)cos(x/2)
sinx/32cotx/2cosx/2
sinx/3^2cotx/2cosx/2
sin(x разделить на 3)^(2)*cot(x разделить на 2)*cos(x разделить на 2)

Производная функции/ sin(x/3)^(2)*cot(x/2)*cos(x/2)

Производная sin(x/3)^(2)cot(x/2)cos(x/2)

Решение

Вы ввели [src]

   2/x\    /x\    /x\
sin |-|*cot|-|*cos|-|
    \3/    \2/    \2/

$$\sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}$$

d /   2/x\    /x\    /x\\
--|sin |-|*cot|-|*cos|-||
dx\    \3/    \2/    \2//

$$\frac{d}{d x} \sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}$$

Преобразовать

Подробное решение

Применяем правило производной умножения:

$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} h{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} h{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} h{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} h{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

$f{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}$ ; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Заменим $u = \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}$ .
2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$
3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}$ :
  1. Заменим $u = \frac{x}{3}$ .
  2. Производная синуса есть косинус:
    
    $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x}{3}$ :
    1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      Таким образом, в результате: $\frac{1}{3}$
    В результате последовательности правил:
    
    $\frac{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}$
  В результате последовательности правил:
  
  $\frac{2 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}$
$g{\left(x \right)} = \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}$ ; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Есть несколько способов вычислить эту производную.
  Method #1
  1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
    
    $\cot{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{1}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}$
  2. Заменим $u = \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$ .
  3. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$
  4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$ :
    1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
      
      $\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}$
    2. Применим правило производной частного:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$ .
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      Заменим $u = \frac{x}{2}$ .
      
      Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
      
      Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x}{2}$ :
      
      Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      
      В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      
      Таким образом, в результате: $\frac{1}{2}$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      Заменим $u = \frac{x}{2}$ .
      
      Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
      
      Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x}{2}$ :
      
      Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      
      В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      
      Таким образом, в результате: $\frac{1}{2}$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$
      
      Теперь применим правило производной деления:
      
      $\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$
    В результате последовательности правил:
    
    $- \frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$
  Method #2
  1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
    
    $\cot{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}$
  2. Применим правило производной частного:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$ .
    
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. Заменим $u = \frac{x}{2}$ .
    2. Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x}{2}$ :
      
      Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      
      В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      
      Таким образом, в результате: $\frac{1}{2}$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. Заменим $u = \frac{x}{2}$ .
    2. Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x}{2}$ :
      
      Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      
      В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      
      Таким образом, в результате: $\frac{1}{2}$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$
    Теперь применим правило производной деления:
    
    $\frac{- \frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} - \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}}{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$
$h{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$ ; найдём $\frac{d}{d x} h{\left(x \right)}$ :
1. Заменим $u = \frac{x}{2}$ .
2. Производная косинус есть минус синус:
  
  $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x}{2}$ :
  1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
    1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
    Таким образом, в результате: $\frac{1}{2}$
  В результате последовательности правил:
  
  $- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$
В результате: $- \frac{\left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}\right) \sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} - \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)} \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{2 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3}$
Теперь упростим:

$\frac{\left(- 18 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} + \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + 7 \sin{\left(\frac{4 x}{3} \right)}\right) \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{24 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$

Ответ:

$\frac{\left(- 18 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} + \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + 7 \sin{\left(\frac{4 x}{3} \right)}\right) \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{24 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

        /         2/x\\             2/x\    /x\    /x\        /x\    /x\    /x\    /x\
        |      cot |-||          sin |-|*cot|-|*sin|-|   2*cos|-|*cos|-|*cot|-|*sin|-|
   2/x\ |  1       \2/|    /x\       \3/    \2/    \2/        \2/    \3/    \2/    \3/
sin |-|*|- - - -------|*cos|-| - --------------------- + -----------------------------
    \3/ \  2      2   /    \2/             2                           3

$$\left(- \frac{\cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} - \frac{1}{2}\right) \sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)} \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{2 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3}$$

Упростить

Вторая производная [src]

       2/x\    /x\    /x\     /   2/x\      2/x\\    /x\    /x\         2/x\ /       2/x\\    /x\      /       2/x\\    /x\    /x\    /x\         /x\    /x\    /x\    /x\         2/x\ /       2/x\\    /x\    /x\
- 9*sin |-|*cos|-|*cot|-| - 8*|sin |-| - cos |-||*cos|-|*cot|-| + 18*sin |-|*|1 + cot |-||*sin|-| - 24*|1 + cot |-||*cos|-|*cos|-|*sin|-| - 24*cos|-|*cot|-|*sin|-|*sin|-| + 18*sin |-|*|1 + cot |-||*cos|-|*cot|-|
        \3/    \2/    \2/     \    \3/       \3//    \2/    \2/          \3/ \        \2//    \2/      \        \2//    \2/    \3/    \3/         \3/    \2/    \2/    \3/          \3/ \        \2//    \2/    \2/
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                         36

$$\frac{18 \left(\cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \cot{\left(\frac{x}{2} \right)} + 18 \left(\cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 24 \left(\cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 9 \sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \cot{\left(\frac{x}{2} \right)} - 24 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} \cot{\left(\frac{x}{2} \right)} - 8 \left(\sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)} - \cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}\right) \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}}{36}$$

Упростить

Третья производная [src]

/       2/x\\ /   2/x\      2/x\\    /x\   /   2/x\      2/x\\    /x\    /x\      2/x\    /x\    /x\        2/x\ /       2/x\\    /x\                                              /x\    /x\    /x\    /x\        2/x\ /       2/x\\    /x\    /x\      2/x\ /       2/x\\ /         2/x\\    /x\                                            
|1 + cot |-||*|sin |-| - cos |-||*cos|-|   |sin |-| - cos |-||*cot|-|*sin|-|   sin |-|*cot|-|*sin|-|   3*sin |-|*|1 + cot |-||*cos|-|                                        43*cos|-|*cos|-|*cot|-|*sin|-|   3*sin |-|*|1 + cot |-||*cot|-|*sin|-|   sin |-|*|1 + cot |-||*|1 + 3*cot |-||*cos|-|                                            
\        \2// \    \3/       \3//    \2/   \    \3/       \3//    \2/    \2/       \3/    \2/    \2/         \3/ \        \2//    \2/   /       2/x\\    /x\    /x\    /x\         \2/    \3/    \2/    \3/         \3/ \        \2//    \2/    \2/       \3/ \        \2// \          \2//    \2/   /       2/x\\    /x\    /x\    /x\    /x\
---------------------------------------- + --------------------------------- + --------------------- + ------------------------------ + |1 + cot |-||*cos|-|*sin|-|*sin|-| - ------------------------------ - ------------------------------------- - -------------------------------------------- + |1 + cot |-||*cos|-|*cos|-|*cot|-|*sin|-|
                   3                                       3                             8                           8                  \        \2//    \3/    \2/    \3/                 54                                   4                                          4                         \        \2//    \2/    \3/    \2/    \3/

$$- \frac{\left(\cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \left(3 \cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} - \frac{3 \left(\cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} + \left(\cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \cot{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{3 \left(\cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{8} + \left(\cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}}{8} - \frac{43 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}}{54} + \frac{\left(\sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)} - \cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}\right) \left(\cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} + \frac{\left(\sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)} - \cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}\right) \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3}$$

Упростить

График

Производная sin(x/3)^(2)*cot(x/2)*cos(x/2)

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Производная sin(x/3)^(2)cot(x/2)cos(x/2)

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Method #1

Method #2

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Производная sin(x/3)^(2)*cot(x/2)*cos(x/2)

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Method #1

Method #2

Производная sin(x/3)^(2)cot(x/2)cos(x/2)