Производная sin(x)/(cos(x)-1)

Решение

Вы ввели [src]

  sin(x)  
----------
cos(x) - 1

$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}$$

d /  sin(x)  \
--|----------|
dx\cos(x) - 1/

$$\frac{d}{d x} \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}$$

Преобразовать

Подробное решение

Применим правило производной частного:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} - 1$ .

Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Производная синуса есть косинус:
  
  $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. дифференцируем $\cos{\left(x \right)} - 1$ почленно:
  1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.
  2. Производная косинус есть минус синус:
    
    $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
  В результате: $- \sin{\left(x \right)}$
Теперь применим правило производной деления:

$\frac{\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) \cos{\left(x \right)} + \sin^{2}{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}$
Теперь упростим:

$- \frac{1}{\cos{\left(x \right)} - 1}$

Ответ:

$- \frac{1}{\cos{\left(x \right)} - 1}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

                   2      
  cos(x)        sin (x)   
---------- + -------------
cos(x) - 1               2
             (cos(x) - 1)

$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

/           2                           \       
|      2*sin (x)                        |       
|     ----------- + cos(x)              |       
|     -1 + cos(x)              2*cos(x) |       
|-1 + -------------------- + -----------|*sin(x)
\         -1 + cos(x)        -1 + cos(x)/       
------------------------------------------------
                  -1 + cos(x)

$$\frac{\left(-1 + \frac{\cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}}{\cos{\left(x \right)} - 1} + \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}$$

Упростить

Третья производная [src]

                                /                          2      \                                  
                           2    |       6*cos(x)      6*sin (x)   |     /      2             \       
                        sin (x)*|-1 + ----------- + --------------|     | 2*sin (x)          |       
                2               |     -1 + cos(x)                2|   3*|----------- + cos(x)|*cos(x)
           3*sin (x)            \                   (-1 + cos(x)) /     \-1 + cos(x)         /       
-cos(x) - ----------- + ------------------------------------------- + -------------------------------
          -1 + cos(x)                   -1 + cos(x)                             -1 + cos(x)          
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
                                             -1 + cos(x)

$$\frac{\frac{\left(-1 + \frac{6 \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} + \frac{6 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} - \cos{\left(x \right)} + \frac{3 \left(\cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} - \frac{3 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}}{\cos{\left(x \right)} - 1}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная sin(x)/(cos(x)-1)

График:

Кусочно-заданная:

Решение