Производная sin(x)/cos(2*x)

Решение

Вы ввели [src]

 sin(x) 
--------
cos(2*x)

$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}$$

d / sin(x) \
--|--------|
dx\cos(2*x)/

$$\frac{d}{d x} \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}$$

Преобразовать

Подробное решение

Применим правило производной частного:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}$ .

Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Производная синуса есть косинус:
  
  $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Заменим $u = 2 x$ .
2. Производная косинус есть минус синус:
  
  $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 2 x$ :
  1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
    1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
    Таким образом, в результате: $2$
  В результате последовательности правил:
  
  $- 2 \sin{\left(2 x \right)}$
Теперь применим правило производной деления:

$\frac{2 \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}$
Теперь упростим:

$\frac{3 \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(3 x \right)}}{\cos{\left(4 x \right)} + 1}$

Ответ:

$\frac{3 \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(3 x \right)}}{\cos{\left(4 x \right)} + 1}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

 cos(x)    2*sin(x)*sin(2*x)
-------- + -----------------
cos(2*x)          2         
               cos (2*x)

$$\frac{2 \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

            /         2     \                           
            |    2*sin (2*x)|          4*cos(x)*sin(2*x)
-sin(x) + 4*|1 + -----------|*sin(x) + -----------------
            |        2      |               cos(2*x)    
            \     cos (2*x) /                           
--------------------------------------------------------
                        cos(2*x)

$$\frac{4 \cdot \left(\frac{2 \sin^{2}{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}} + 1\right) \sin{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} + \frac{4 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}}{\cos{\left(2 x \right)}}$$

Упростить

Третья производная [src]

                                                              /         2     \                
                                                              |    6*sin (2*x)|                
                                                            8*|5 + -----------|*sin(x)*sin(2*x)
             /         2     \                                |        2      |                
             |    2*sin (2*x)|          6*sin(x)*sin(2*x)     \     cos (2*x) /                
-cos(x) + 12*|1 + -----------|*cos(x) - ----------------- + -----------------------------------
             |        2      |               cos(2*x)                     cos(2*x)             
             \     cos (2*x) /                                                                 
-----------------------------------------------------------------------------------------------
                                            cos(2*x)

$$\frac{12 \cdot \left(\frac{2 \sin^{2}{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}} + 1\right) \cos{\left(x \right)} + \frac{8 \cdot \left(\frac{6 \sin^{2}{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}} + 5\right) \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}} - \frac{6 \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}} - \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная sin(x)/cos(2*x)

График:

Кусочно-заданная:

Решение