Производная sin(2*x+1)^(5)

1. Заменим $u = \sin{\left(2 x + 1 \right)}$.

2. В силу правила, применим: $u^{5}$ получим $5 u^{4}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(2 x + 1 \right)}$:

   1. Заменим $u = 2 x + 1$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(2 x + 1\right)$:

      1. дифференцируем $2 x + 1$ почленно:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $2$

         2. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         В результате: $2$

      В результате последовательности правил:

      $2 \cos{\left(2 x + 1 \right)}$

   В результате последовательности правил:

   $10 \sin^{4}{\left(2 x + 1 \right)} \cos{\left(2 x + 1 \right)}$

4. Теперь упростим:

   $10 \sin^{4}{\left(2 x + 1 \right)} \cos{\left(2 x + 1 \right)}$

Ответ:

$10 \sin^{4}{\left(2 x + 1 \right)} \cos{\left(2 x + 1 \right)}$