Производная 7*x^4*sin(2*x)+3*e^(7*x)*cos(2*x)

1. дифференцируем $7 x^{4} \sin{\left(2 x \right)} + 3 e^{7 x} \cos{\left(2 x \right)}$ почленно:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Применяем правило производной умножения:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = x^{4}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. В силу правила, применим: $x^{4}$ получим $4 x^{3}$

         $g{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Заменим $u = 2 x$.

         2. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 2 x$:

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Таким образом, в результате: $2$

            В результате последовательности правил:

            $2 \cos{\left(2 x \right)}$

         В результате: $2 x^{4} \cos{\left(2 x \right)} + 4 x^{3} \sin{\left(2 x \right)}$

      Таким образом, в результате: $14 x^{4} \cos{\left(2 x \right)} + 28 x^{3} \sin{\left(2 x \right)}$

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Применяем правило производной умножения:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = e^{7 x}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Заменим $u = 7 x$.

         2. Производная $e^{u}$ само оно.

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 7 x$:

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Таким образом, в результате: $7$

            В результате последовательности правил:

            $7 e^{7 x}$

         $g{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Заменим $u = 2 x$.

         2. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 2 x$:

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Таким образом, в результате: $2$

            В результате последовательности правил:

            $- 2 \sin{\left(2 x \right)}$

         В результате: $- 2 e^{7 x} \sin{\left(2 x \right)} + 7 e^{7 x} \cos{\left(2 x \right)}$

      Таким образом, в результате: $- 6 e^{7 x} \sin{\left(2 x \right)} + 21 e^{7 x} \cos{\left(2 x \right)}$

   В результате: $14 x^{4} \cos{\left(2 x \right)} + 28 x^{3} \sin{\left(2 x \right)} - 6 e^{7 x} \sin{\left(2 x \right)} + 21 e^{7 x} \cos{\left(2 x \right)}$

Ответ:

$14 x^{4} \cos{\left(2 x \right)} + 28 x^{3} \sin{\left(2 x \right)} - 6 e^{7 x} \sin{\left(2 x \right)} + 21 e^{7 x} \cos{\left(2 x \right)}$