Производная 1/(1+(e^(-x)))

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = e^{x}$ и $g{\left(x \right)} = e^{x} + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Производная $e^{x}$ само оно.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. дифференцируем $e^{x} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная $e^{x}$ само оно.

      В результате: $e^{x}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{\left(e^{x} + 1\right) e^{x} - e^{2 x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{4 \cosh^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$

Ответ:

$\frac{1}{4 \cosh^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$