Производная 1/(e^(2*x)+1)

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = e^{2 x} + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. дифференцируем $e^{2 x} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Заменим $u = 2 x$.

      3. Производная $e^{u}$ само оно.

      4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 2 x$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $2$

         В результате последовательности правил:

         $2 e^{2 x}$

      В результате: $2 e^{2 x}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $- \frac{2 e^{2 x}}{\left(e^{2 x} + 1\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{2 \cosh^{2}{\left(x \right)}}$

Ответ:

$- \frac{1}{2 \cosh^{2}{\left(x \right)}}$