Производная log(x*tan(x))

Решение

Вы ввели [src]

log(x*tan(x))

$$\log{\left(x \tan{\left(x \right)} \right)}$$

d                
--(log(x*tan(x)))
dx

$$\frac{d}{d x} \log{\left(x \tan{\left(x \right)} \right)}$$

Преобразовать

Подробное решение

Заменим $u = x \tan{\left(x \right)}$ .
Производная $\log{\left(u \right)}$ является $\frac{1}{u}$ .
Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} x \tan{\left(x \right)}$ :
1. Применяем правило производной умножения:
  
  $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
  
  $f{\left(x \right)} = x$ ; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
  $g{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)}$ ; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
    
    $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
  2. Применим правило производной частного:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
    Теперь применим правило производной деления:
    
    $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
  В результате: $\frac{x \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \tan{\left(x \right)}$
В результате последовательности правил:

$\frac{\frac{x \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \tan{\left(x \right)}}{x \tan{\left(x \right)}}$
Теперь упростим:

$\frac{2}{\sin{\left(2 x \right)}} + \frac{1}{x}$

Ответ:

$\frac{2}{\sin{\left(2 x \right)}} + \frac{1}{x}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

  /       2   \         
x*\1 + tan (x)/ + tan(x)
------------------------
        x*tan(x)

$$\frac{x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + \tan{\left(x \right)}}{x \tan{\left(x \right)}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

                  /       2   \            /       2   \ /  /       2   \         \                           
         2      x*\1 + tan (x)/ + tan(x)   \1 + tan (x)/*\x*\1 + tan (x)/ + tan(x)/       /       2   \       
2 + 2*tan (x) - ------------------------ - ---------------------------------------- + 2*x*\1 + tan (x)/*tan(x)
                           x                                tan(x)                                            
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                   x*tan(x)

$$\frac{2 x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} + 2 \tan^{2}{\left(x \right)} - \frac{\left(x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + \tan{\left(x \right)}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\tan{\left(x \right)}} + 2 - \frac{x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + \tan{\left(x \right)}}{x}}{x \tan{\left(x \right)}}$$

Упростить

Третья производная [src]

  /                                                                                                                                                                                         2                                                                                                                               \
  |  /       2   \                                                                                                                    /       2        /       2   \       \   /       2   \  /  /       2   \         \     /       2   \ /       2        /       2   \       \   /       2   \ /  /       2   \         \|
  |x*\1 + tan (x)/ + tan(x)   /       2   \ /             /       2   \          2   \   /       2   \ /  /       2   \         \   2*\1 + tan (x) + x*\1 + tan (x)/*tan(x)/   \1 + tan (x)/ *\x*\1 + tan (x)/ + tan(x)/   2*\1 + tan (x)/*\1 + tan (x) + x*\1 + tan (x)/*tan(x)/   \1 + tan (x)/*\x*\1 + tan (x)/ + tan(x)/|
2*|------------------------ + \1 + tan (x)/*\3*tan(x) + x*\1 + tan (x)/ + 2*x*tan (x)/ - \1 + tan (x)/*\x*\1 + tan (x)/ + tan(x)/ - ---------------------------------------- + ----------------------------------------- - ------------------------------------------------------ + ----------------------------------------|
  |            2                                                                                                                                       x                                           2                                               tan(x)                                           x*tan(x)                |
  \           x                                                                                                                                                                                 tan (x)                                                                                                                     /
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                                           x*tan(x)

$$\frac{2 \left(- \left(x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + \tan{\left(x \right)}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(2 x \tan^{2}{\left(x \right)} + x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + 3 \tan{\left(x \right)}\right) + \frac{\left(x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + \tan{\left(x \right)}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\tan^{2}{\left(x \right)}} - \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} + \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\tan{\left(x \right)}} + \frac{\left(x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + \tan{\left(x \right)}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{x \tan{\left(x \right)}} - \frac{2 \left(x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} + \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{x} + \frac{x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + \tan{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)}{x \tan{\left(x \right)}}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная log(x*tan(x))

График:

Кусочно-заданная:

Решение