Производная log(tan(x)+1)

Решение

Вы ввели [src]

log(tan(x) + 1)

$$\log{\left(\tan{\left(x \right)} + 1 \right)}$$

d                  
--(log(tan(x) + 1))
dx

$$\frac{d}{d x} \log{\left(\tan{\left(x \right)} + 1 \right)}$$

Преобразовать

Подробное решение

Заменим $u = \tan{\left(x \right)} + 1$ .
Производная $\log{\left(u \right)}$ является $\frac{1}{u}$ .
Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(\tan{\left(x \right)} + 1\right)$ :
1. дифференцируем $\tan{\left(x \right)} + 1$ почленно:
  1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
    
    $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
  2. Применим правило производной частного:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
    Теперь применим правило производной деления:
    
    $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
  3. Производная постоянной $1$ равна нулю.
  В результате: $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
В результате последовательности правил:

$\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(\tan{\left(x \right)} + 1\right) \cos^{2}{\left(x \right)}}$
Теперь упростим:

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)} + \sqrt{2}}$

Ответ:

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)} + \sqrt{2}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

       2   
1 + tan (x)
-----------
 tan(x) + 1

$$\frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\tan{\left(x \right)} + 1}$$

Упростить

Вторая производная [src]

              /                  2   \
/       2   \ |           1 + tan (x)|
\1 + tan (x)/*|2*tan(x) - -----------|
              \            1 + tan(x)/
--------------------------------------
              1 + tan(x)

$$\frac{\left(2 \tan{\left(x \right)} - \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\tan{\left(x \right)} + 1}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\tan{\left(x \right)} + 1}$$

Упростить

Третья производная [src]

                /                             2                         \
                |                /       2   \      /       2   \       |
  /       2   \ |         2      \1 + tan (x)/    3*\1 + tan (x)/*tan(x)|
2*\1 + tan (x)/*|1 + 3*tan (x) + -------------- - ----------------------|
                |                            2          1 + tan(x)      |
                \                (1 + tan(x))                           /
-------------------------------------------------------------------------
                                1 + tan(x)

$$\frac{2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left(x \right)} - \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)} + 1} + 1 + \frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\left(\tan{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}\right)}{\tan{\left(x \right)} + 1}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная log(tan(x)+1)

График:

Кусочно-заданная:

Решение