Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Производная:
Производная x^3*log(x)
Производная tan(3*x)^(4)
Производная (x^3)/(2*x+4)
Производная sqrt(1+sin(6*x)^(2))
Идентичные выражения
log(((один +cos(x))/sin(x))^(один / два))+cos(x)/ два /sin(x)
логарифм от (((1 плюс косинус от (x)) делить на синус от (x)) в степени (1 делить на 2)) плюс косинус от (x) делить на 2 делить на синус от (x)
логарифм от (((один плюс косинус от (x)) делить на синус от (x)) в степени (один делить на два)) плюс косинус от (x) делить на два делить на синус от (x)
log(((1+cos(x))/sin(x))(1/2))+cos(x)/2/sin(x)
log1+cosx/sinx1/2+cosx/2/sinx
log1+cosx/sinx^1/2+cosx/2/sinx
log(((1+cos(x)) разделить на sin(x))^(1 разделить на 2))+cos(x) разделить на 2 разделить на sin(x)
Похожие выражения
log(((1+cos(x))/sin(x))^(1/2))-cos(x)/2/sin(x)
log(((1-cos(x))/sin(x))^(1/2))+cos(x)/2/sin(x)
log(((1+cosx)/sinx)^(1/2))+cosx/2/sinx

Производная функции/ log(((1+cos(x))/sin(x))^(1/2))+cos(x)/2/sin(x)

Производная log(((1+cos(x))/sin(x))^(1/2))+cos(x)/2/sin(x)

Решение

Вы ввели [src]

   /    ____________\           
   |   / 1 + cos(x) |    cos(x) 
log|  /  ---------- | + --------
   \\/     sin(x)   /   2*sin(x)

$$\log{\left(\sqrt{\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(x \right)}}} \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)}}$$

  /   /    ____________\           \
d |   |   / 1 + cos(x) |    cos(x) |
--|log|  /  ---------- | + --------|
dx\   \\/     sin(x)   /   2*sin(x)/

$$\frac{d}{d x} \left(\log{\left(\sqrt{\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(x \right)}}} \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)}}\right)$$

Преобразовать

Подробное решение

дифференцируем $\log{\left(\sqrt{\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(x \right)}}} \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)}}$ почленно:
1. Заменим $u = \sqrt{\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(x \right)}}}$ .
2. Производная $\log{\left(u \right)}$ является $\frac{1}{u}$ .
3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sqrt{\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(x \right)}}}$ :
  1. Заменим $u = \frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(x \right)}}$ .
  2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$
  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(x \right)}}$ :
    1. Применим правило производной частного:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} + 1$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      1. дифференцируем $\cos{\left(x \right)} + 1$ почленно:
        
        Производная постоянной $1$ равна нулю.
        
        Производная косинус есть минус синус:
        
        $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
        
        В результате: $- \sin{\left(x \right)}$
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      1. Производная синуса есть косинус:
        
        $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
      Теперь применим правило производной деления:
      
      $\frac{- \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} - \sin^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$
    В результате последовательности правил:
    
    $\frac{- \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} - \sin^{2}{\left(x \right)}}{2 \sqrt{\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(x \right)}}} \sin^{2}{\left(x \right)}}$
  В результате последовательности правил:
  
  $\frac{\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1} \left(- \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}$
4. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
  1. Применим правило производной частного:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ .
    
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
    Теперь применим правило производной деления:
    
    $\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$
  Таким образом, в результате: $\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}$
В результате: $\frac{\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1} \left(- \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}$
Теперь упростим:

$- \frac{1 + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}}{2 \sin{\left(x \right)}}$

Ответ:

$- \frac{1 + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}}{2 \sin{\left(x \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

                  /  1   (1 + cos(x))*cos(x)\       
                  |- - - -------------------|*sin(x)
          2       |  2             2        |       
  1    cos (x)    \           2*sin (x)     /       
- - - --------- + ----------------------------------
  2        2                  1 + cos(x)            
      2*sin (x)

$$\frac{\left(- \frac{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{1}{2}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1} - \frac{1}{2} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

                                       2                                                                                       
                                  2*cos (x)*(1 + cos(x))   /    (1 + cos(x))*cos(x)\             2    /    (1 + cos(x))*cos(x)\
                   1 + 2*cos(x) + ----------------------   |1 + -------------------|*cos(x)   sin (x)*|1 + -------------------|
   3                                        2              |             2         |                  |             2         |
cos (x)   cos(x)                         sin (x)           \          sin (x)      /                  \          sin (x)      /
------- + ------ + ------------------------------------- - -------------------------------- - ---------------------------------
   3      sin(x)               2*(1 + cos(x))                       2*(1 + cos(x))                                   2         
sin (x)                                                                                                2*(1 + cos(x))

$$- \frac{\left(\frac{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{2 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)} - \frac{\left(\frac{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{2 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2}} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}} + \frac{\frac{2 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 2 \cos{\left(x \right)} + 1}{2 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)}$$

Упростить

Третья производная [src]

                             /                    2                \                                                                                 /         2                                   3                \          /                    2                \                                                   
                             |               2*cos (x)*(1 + cos(x))|          /    (1 + cos(x))*cos(x)\             3    /    (1 + cos(x))*cos(x)\   |    3*cos (x)   5*(1 + cos(x))*cos(x)   6*cos (x)*(1 + cos(x))|          |               2*cos (x)*(1 + cos(x))|            /    (1 + cos(x))*cos(x)\              
                             |1 + 2*cos(x) + ----------------------|*sin(x)   |1 + -------------------|*sin(x)   sin (x)*|1 + -------------------|   |2 + --------- + --------------------- + ----------------------|*sin(x)   |1 + 2*cos(x) + ----------------------|*cos(x)   3*|1 + -------------------|*cos(x)*sin(x)
          2           4      |                         2           |          |             2         |                  |             2         |   |        2                 2                       4           |          |                         2           |            |             2         |              
     4*cos (x)   3*cos (x)   \                      sin (x)        /          \          sin (x)      /                  \          sin (x)      /   \     sin (x)           sin (x)                 sin (x)        /          \                      sin (x)        /            \          sin (x)      /              
-1 - --------- - --------- + ---------------------------------------------- + -------------------------------- - --------------------------------- - ----------------------------------------------------------------------- + ---------------------------------------------- - -----------------------------------------
         2           4                                   2                             2*(1 + cos(x))                                  3                                          2*(1 + cos(x))                                            (1 + cos(x))*sin(x)                                            2             
      sin (x)     sin (x)                    (1 + cos(x))                                                                  (1 + cos(x))                                                                                                                                                      2*(1 + cos(x))

$$\frac{\left(\frac{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}{2 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)} - \frac{3 \left(\frac{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2}} - \frac{\left(\frac{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \sin^{3}{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{3}} - \frac{\left(\frac{5 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{6 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{4}{\left(x \right)}} + 2 + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \sin{\left(x \right)}}{2 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)} - 1 - \frac{4 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{3 \cos^{4}{\left(x \right)}}{\sin^{4}{\left(x \right)}} + \frac{\left(\frac{2 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 2 \cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}} + \frac{\left(\frac{2 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 2 \cos{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}$$

Упростить

График

Производная log(((1+cos(x))/sin(x))^(1/2))+cos(x)/2/sin(x)

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная log(((1+cos(x))/sin(x))^(1/2))+cos(x)/2/sin(x)

График:

Кусочно-заданная:

Решение