Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Производная:
Производная x^2*log(x)
Производная sqrt(x+4)
Производная cot(pi*x/2)
Производная 2^x-1
Идентичные выражения
log((один +cos(x))/sin(x))^(один / два)-cos(x)/ два /sin(x)
логарифм от ((1 плюс косинус от (x)) делить на синус от (x)) в степени (1 делить на 2) минус косинус от (x) делить на 2 делить на синус от (x)
логарифм от ((один плюс косинус от (x)) делить на синус от (x)) в степени (один делить на два) минус косинус от (x) делить на два делить на синус от (x)
log((1+cos(x))/sin(x))(1/2)-cos(x)/2/sin(x)
log1+cosx/sinx1/2-cosx/2/sinx
log1+cosx/sinx^1/2-cosx/2/sinx
log((1+cos(x)) разделить на sin(x))^(1 разделить на 2)-cos(x) разделить на 2 разделить на sin(x)
Похожие выражения
log(((1+cos(x))/sin(x))^(1/2))-cos(x)/2/sin(x)
log((1+cos(x))/sin(x))^(1/2)+cos(x)/2/sin(x)
log((1-cos(x))/sin(x))^(1/2)-cos(x)/2/sin(x)
log((1+cosx)/sinx)^(1/2)-cosx/2/sinx

Производная функции/ log((1+cos(x))/sin(x))^(1/2)-cos(x)/2/sin(x)

Производная log((1+cos(x))/sin(x))^(1/2)-cos(x)/2/sin(x)

Решение

Вы ввели [src]

    _________________           
   /    /1 + cos(x)\     cos(x) 
  /  log|----------|  - --------
\/      \  sin(x)  /    2*sin(x)

$$\sqrt{\log{\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(x \right)}} \right)}} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)}}$$

  /    _________________           \
d |   /    /1 + cos(x)\     cos(x) |
--|  /  log|----------|  - --------|
dx\\/      \  sin(x)  /    2*sin(x)/

$$\frac{d}{d x} \left(\sqrt{\log{\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(x \right)}} \right)}} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)}}\right)$$

Преобразовать

Подробное решение

дифференцируем $\sqrt{\log{\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(x \right)}} \right)}} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)}}$ почленно:
1. Заменим $u = \log{\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(x \right)}} \right)}$ .
2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$
3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(x \right)}} \right)}$ :
  1. Заменим $u = \frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(x \right)}}$ .
  2. Производная $\log{\left(u \right)}$ является $\frac{1}{u}$ .
  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(x \right)}}$ :
    1. Применим правило производной частного:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} + 1$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      1. дифференцируем $\cos{\left(x \right)} + 1$ почленно:
        
        Производная постоянной $1$ равна нулю.
        
        Производная косинус есть минус синус:
        
        $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
        
        В результате: $- \sin{\left(x \right)}$
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      1. Производная синуса есть косинус:
        
        $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
      Теперь применим правило производной деления:
      
      $\frac{- \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} - \sin^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$
    В результате последовательности правил:
    
    $\frac{- \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} - \sin^{2}{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}$
  В результате последовательности правил:
  
  $\frac{- \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} - \sin^{2}{\left(x \right)}}{2 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \sqrt{\log{\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(x \right)}} \right)}} \sin{\left(x \right)}}$
4. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
  1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
    1. Применим правило производной частного:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      1. Производная косинус есть минус синус:
        
        $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      1. Производная синуса есть косинус:
        
        $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
      Теперь применим правило производной деления:
      
      $\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$
    Таким образом, в результате: $\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}$
  Таким образом, в результате: $- \frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}$
В результате: $\frac{- \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} - \sin^{2}{\left(x \right)}}{2 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \sqrt{\log{\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(x \right)}} \right)}} \sin{\left(x \right)}} - \frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}$
Теперь упростим:

$\frac{\frac{1}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{1}{\sqrt{\log{\left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}} \right)}}}}{2 \sin{\left(x \right)}}$

Ответ:

$\frac{\frac{1}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{1}{\sqrt{\log{\left(\frac{1}{\tan{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}} \right)}}}}{2 \sin{\left(x \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

                 /     (1 + cos(x))*cos(x)\         
                 |-1 - -------------------|*sin(x)  
        2        |              2         |         
1    cos (x)     \           sin (x)      /         
- + --------- + ------------------------------------
2        2                         _________________
    2*sin (x)                     /    /1 + cos(x)\ 
                2*(1 + cos(x))*  /  log|----------| 
                               \/      \  sin(x)  /

$$\frac{\left(- \frac{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - 1\right) \sin{\left(x \right)}}{2 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \sqrt{\log{\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(x \right)}} \right)}}} + \frac{1}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

                                         2                                                                                                                           2        
                                    2*cos (x)*(1 + cos(x))     /    (1 + cos(x))*cos(x)\                 2    /    (1 + cos(x))*cos(x)\     /    (1 + cos(x))*cos(x)\     2   
                     1 + 2*cos(x) + ----------------------     |1 + -------------------|*cos(x)       sin (x)*|1 + -------------------|     |1 + -------------------| *sin (x)
     3                                        2                |             2         |                      |             2         |     |             2         |         
  cos (x)   cos(x)                         sin (x)             \          sin (x)      /                      \          sin (x)      /     \          sin (x)      /         
- ------- - ------ + ------------------------------------- - ------------------------------------ - ------------------------------------- - ----------------------------------
     3      sin(x)                       _________________                      _________________                       _________________                 2    3/2/1 + cos(x)\
  sin (x)                               /    /1 + cos(x)\                      /    /1 + cos(x)\                  2    /    /1 + cos(x)\    4*(1 + cos(x)) *log   |----------|
                      2*(1 + cos(x))*  /  log|----------|    2*(1 + cos(x))*  /  log|----------|    2*(1 + cos(x)) *  /  log|----------|                          \  sin(x)  /
                                     \/      \  sin(x)  /                   \/      \  sin(x)  /                    \/      \  sin(x)  /

$$- \frac{\left(\frac{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{2 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \sqrt{\log{\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(x \right)}} \right)}}} - \frac{\left(\frac{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{2 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \sqrt{\log{\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(x \right)}} \right)}}} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}} - \frac{\left(\frac{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1\right)^{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}{4 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \log{\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(x \right)}} \right)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{\frac{2 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 2 \cos{\left(x \right)} + 1}{2 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \sqrt{\log{\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(x \right)}} \right)}}}$$

Упростить

Третья производная [src]

                            /                    2                \                                                                                                                  2                                      3           /         2                                   3                \          /                    2                \                                                                                 2                                             /                    2                \       
                            |               2*cos (x)*(1 + cos(x))|            /    (1 + cos(x))*cos(x)\                3    /    (1 + cos(x))*cos(x)\      /    (1 + cos(x))*cos(x)\     3        /    (1 + cos(x))*cos(x)\     3      |    3*cos (x)   5*(1 + cos(x))*cos(x)   6*cos (x)*(1 + cos(x))|          |               2*cos (x)*(1 + cos(x))|            /    (1 + cos(x))*cos(x)\                   /    (1 + cos(x))*cos(x)\                    /    (1 + cos(x))*cos(x)\ |               2*cos (x)*(1 + cos(x))|       
                            |1 + 2*cos(x) + ----------------------|*sin(x)     |1 + -------------------|*sin(x)      sin (x)*|1 + -------------------|    3*|1 + -------------------| *sin (x)   3*|1 + -------------------| *sin (x)   |2 + --------- + --------------------- + ----------------------|*sin(x)   |1 + 2*cos(x) + ----------------------|*cos(x)   3*|1 + -------------------|*cos(x)*sin(x)   3*|1 + -------------------| *cos(x)*sin(x)   3*|1 + -------------------|*|1 + 2*cos(x) + ----------------------|*sin(x)
         4           2      |                         2           |            |             2         |                     |             2         |      |             2         |              |             2         |            |        2                 2                       4           |          |                         2           |            |             2         |                   |             2         |                    |             2         | |                         2           |       
    3*cos (x)   4*cos (x)   \                      sin (x)        /            \          sin (x)      /                     \          sin (x)      /      \          sin (x)      /              \          sin (x)      /            \     sin (x)           sin (x)                 sin (x)        /          \                      sin (x)        /            \          sin (x)      /                   \          sin (x)      /                    \          sin (x)      / \                      sin (x)        /       
1 + --------- + --------- + ---------------------------------------------- + ------------------------------------ - ----------------------------------- - ------------------------------------ - ------------------------------------ - ----------------------------------------------------------------------- + ---------------------------------------------- - ----------------------------------------- - ------------------------------------------ + --------------------------------------------------------------------------
        4           2                              _________________                            _________________                     _________________                  3    3/2/1 + cos(x)\                   3    5/2/1 + cos(x)\                                         _________________                                       _________________                                   _________________                       2    3/2/1 + cos(x)\                                         2    3/2/1 + cos(x)\                    
     sin (x)     sin (x)                     2    /    /1 + cos(x)\                            /    /1 + cos(x)\                3    /    /1 + cos(x)\     4*(1 + cos(x)) *log   |----------|     8*(1 + cos(x)) *log   |----------|                                        /    /1 + cos(x)\                                       /    /1 + cos(x)\                              2    /    /1 + cos(x)\          4*(1 + cos(x)) *log   |----------|                           4*(1 + cos(x)) *log   |----------|                    
                                 (1 + cos(x)) *  /  log|----------|          2*(1 + cos(x))*  /  log|----------|    (1 + cos(x)) *  /  log|----------|                           \  sin(x)  /                           \  sin(x)  /                      2*(1 + cos(x))*  /  log|----------|                       (1 + cos(x))*  /  log|----------| *sin(x)        2*(1 + cos(x)) *  /  log|----------|                                \  sin(x)  /                                                 \  sin(x)  /                    
                                               \/      \  sin(x)  /                         \/      \  sin(x)  /                  \/      \  sin(x)  /                                                                                                                   \/      \  sin(x)  /                                    \/      \  sin(x)  /                                \/      \  sin(x)  /

$$\frac{\left(\frac{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}{2 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \sqrt{\log{\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(x \right)}} \right)}}} - \frac{3 \left(\frac{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \sqrt{\log{\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(x \right)}} \right)}}} - \frac{\left(\frac{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \sin^{3}{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{3} \sqrt{\log{\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(x \right)}} \right)}}} + 1 + \frac{4 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{3 \cos^{4}{\left(x \right)}}{\sin^{4}{\left(x \right)}} - \frac{\left(\frac{5 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{6 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{4}{\left(x \right)}} + 2 + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \sin{\left(x \right)}}{2 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \sqrt{\log{\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(x \right)}} \right)}}} - \frac{3 \left(\frac{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1\right)^{2} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{4 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \log{\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(x \right)}} \right)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 \left(\frac{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1\right)^{2} \sin^{3}{\left(x \right)}}{4 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{3} \log{\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(x \right)}} \right)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{\left(\frac{2 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 2 \cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \sqrt{\log{\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(x \right)}} \right)}} \sin{\left(x \right)}} + \frac{\left(\frac{2 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 2 \cos{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \sqrt{\log{\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(x \right)}} \right)}}} - \frac{3 \left(\frac{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1\right)^{3} \sin^{3}{\left(x \right)}}{8 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{3} \log{\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(x \right)}} \right)}^{\frac{5}{2}}} + \frac{3 \left(\frac{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \left(\frac{2 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 2 \cos{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}{4 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \log{\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(x \right)}} \right)}^{\frac{3}{2}}}$$

Упростить

График

Производная log((1+cos(x))/sin(x))^(1/2)-cos(x)/2/sin(x)

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная log((1+cos(x))/sin(x))^(1/2)-cos(x)/2/sin(x)

График:

Кусочно-заданная:

Решение