Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Производная:
Производная (16/x)+x+3
Производная (2*sqrt(x))-x
Производная (x^10)
Производная cos(1)-x/3
Идентичные выражения
cot((pi*x)/ два)
котангенс от (( число пи умножить на x) делить на 2)
котангенс от (( число пи умножить на x) делить на два)
cot((pix)/2)
cotpix/2
cot((pi*x) разделить на 2)
Похожие выражения
cot(pi*x)/2
pi/x/cot(pi*x/2)
cot(pi*x/2)
cot(pi*x/2)/(x-1)

Производная функции/ cot((pi*x)/2)

Производная cot((pi*x)/2)

Решение

Вы ввели [src]

   /pi*x\
cot|----|
   \ 2  /

$$\cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}$$

d /   /pi*x\\
--|cot|----||
dx\   \ 2  //

$$\frac{d}{d x} \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}$$

Преобразовать

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить эту производную.
Method #1
1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
  
  $\cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} = \frac{1}{\tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}$
2. Заменим $u = \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}$ .
3. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$
4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}$ :
  1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
    
    $\tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}$
  2. Применим правило производной частного:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}$ .
    
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. Заменим $u = \frac{\pi x}{2}$ .
    2. Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{\pi x}{2}$ :
      
      Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      
      В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      
      Таким образом, в результате: $\frac{\pi}{2}$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $\frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2}$
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. Заменим $u = \frac{\pi x}{2}$ .
    2. Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{\pi x}{2}$ :
      
      Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      
      В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      
      Таким образом, в результате: $\frac{\pi}{2}$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $- \frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2}$
    Теперь применим правило производной деления:
    
    $\frac{\frac{\pi \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}$
  В результате последовательности правил:
  
  $- \frac{\frac{\pi \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}$
Method #2
1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
  
  $\cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}$
2. Применим правило производной частного:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}$ .
  
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Заменим $u = \frac{\pi x}{2}$ .
  2. Производная косинус есть минус синус:
    
    $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{\pi x}{2}$ :
    1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      
      В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      
      Таким образом, в результате: $\frac{\pi}{2}$
    В результате последовательности правил:
    
    $- \frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2}$
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Заменим $u = \frac{\pi x}{2}$ .
  2. Производная синуса есть косинус:
    
    $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{\pi x}{2}$ :
    1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      
      В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      
      Таким образом, в результате: $\frac{\pi}{2}$
    В результате последовательности правил:
    
    $\frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2}$
  Теперь применим правило производной деления:
  
  $\frac{- \frac{\pi \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} - \frac{\pi \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2}}{\sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}$
Теперь упростим:

$- \frac{\pi}{\left(\cos{\left(\pi x \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}$

Ответ:

$- \frac{\pi}{\left(\cos{\left(\pi x \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

   /        2/pi*x\\
pi*|-1 - cot |----||
   \         \ 2  //
--------------------
         2

$$\frac{\pi \left(- \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - 1\right)}{2}$$

Упростить

Вторая производная [src]

  2 /       2/pi*x\\    /pi*x\
pi *|1 + cot |----||*cot|----|
    \        \ 2  //    \ 2  /
------------------------------
              2

$$\frac{\pi^{2} \left(\cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + 1\right) \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2}$$

Упростить

Третья производная [src]

   3 /       2/pi*x\\ /         2/pi*x\\ 
-pi *|1 + cot |----||*|1 + 3*cot |----|| 
     \        \ 2  // \          \ 2  // 
-----------------------------------------
                    4

$$- \frac{\pi^{3} \left(\cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + 1\right) \left(3 \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + 1\right)}{4}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная cot((pi*x)/2)

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Method #1

Method #2