Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Производная:
Производная x^3*log(x)
Производная tan(3*x)^(4)
Производная (x^3)/(2*x+4)
Производная sqrt(1+sin(6*x)^(2))
Идентичные выражения
pi/x/cot(pi*x/ два)
число пи делить на x делить на котангенс от ( число пи умножить на x делить на 2)
число пи делить на x делить на котангенс от ( число пи умножить на x делить на два)
pi/x/cot(pix/2)
pi/x/cotpix/2
pi разделить на x разделить на cot(pi*x разделить на 2)

Производная функции/ pi/x/cot(pi*x/2)

Производная pi/x/cot(pi*x/2)

Решение

Вы ввели [src]

     pi    
-----------
     /pi*x\
x*cot|----|
     \ 2  /

$$\frac{\pi}{x \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}$$

d /     pi    \
--|-----------|
dx|     /pi*x\|
  |x*cot|----||
  \     \ 2  //

$$\frac{d}{d x} \frac{\pi}{x \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}$$

Преобразовать

Подробное решение

Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
1. Применим правило производной частного:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = x \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}$ .
  
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Производная постоянной $1$ равна нулю.
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Применяем правило производной умножения:
    
    $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
    
    $f{\left(x \right)} = x$ ; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
    $g{\left(x \right)} = \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}$ ; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. Есть несколько способов вычислить эту производную.
      Method #1
      
      Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
      
      $\cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} = \frac{1}{\tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}$
      
      Заменим $u = \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}$ .
      
      В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$
      
      Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}$ :
      
      Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
      
      $\tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}$
      
      Применим правило производной частного:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}$ .
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      Заменим $u = \frac{\pi x}{2}$ .
      
      Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
      
      Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{\pi x}{2}$ :
      
      Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      
      В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      
      Таким образом, в результате: $\frac{\pi}{2}$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $\frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2}$
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      Заменим $u = \frac{\pi x}{2}$ .
      
      Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
      
      Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{\pi x}{2}$ :
      
      Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      
      В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      
      Таким образом, в результате: $\frac{\pi}{2}$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $- \frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2}$
      
      Теперь применим правило производной деления:
      
      $\frac{\frac{\pi \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $- \frac{\frac{\pi \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}$
      Method #2
      
      Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
      
      $\cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}$
      
      Применим правило производной частного:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}$ .
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      Заменим $u = \frac{\pi x}{2}$ .
      
      Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
      
      Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{\pi x}{2}$ :
      
      Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      
      В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      
      Таким образом, в результате: $\frac{\pi}{2}$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $- \frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2}$
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      Заменим $u = \frac{\pi x}{2}$ .
      
      Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
      
      Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{\pi x}{2}$ :
      
      Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      
      В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      
      Таким образом, в результате: $\frac{\pi}{2}$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $\frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2}$
      
      Теперь применим правило производной деления:
      
      $\frac{- \frac{\pi \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} - \frac{\pi \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2}}{\sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}$
    В результате: $- \frac{x \left(\frac{\pi \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2}\right)}{\cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}} + \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}$
  Теперь применим правило производной деления:
  
  $\frac{\frac{x \left(\frac{\pi \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2}\right)}{\cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}} - \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x^{2} \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}$
Таким образом, в результате: $\frac{\pi \left(\frac{x \left(\frac{\pi \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi \cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2}\right)}{\cos^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}} - \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}\right)}{x^{2} \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}$
Теперь упростим:

$\frac{\pi \left(\pi x - \sin{\left(\pi x \right)}\right)}{x^{2} \left(\cos{\left(\pi x \right)} + 1\right)}$

Ответ:

$\frac{\pi \left(\pi x - \sin{\left(\pi x \right)}\right)}{x^{2} \left(\cos{\left(\pi x \right)} + 1\right)}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

                   2 /        2/pi*x\\
                 pi *|-1 - cot |----||
       pi            \         \ 2  //
- ------------ - ---------------------
   2    /pi*x\              2/pi*x\   
  x *cot|----|       2*x*cot |----|   
        \ 2  /               \ 2  /

$$- \frac{\pi^{2} \left(- \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} - 1\right)}{2 x \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}} - \frac{\pi}{x^{2} \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

   /                          /            2/pi*x\\                      \
   |                          |     1 + cot |----||                      |
   |       2 /       2/pi*x\\ |             \ 2  /|                      |
   |     pi *|1 + cot |----||*|-1 + --------------|                      |
   |         \        \ 2  // |          2/pi*x\  |      /       2/pi*x\\|
   |                          |       cot |----|  |   pi*|1 + cot |----|||
   |2                         \           \ 2  /  /      \        \ 2  //|
pi*|-- + ------------------------------------------ - -------------------|
   | 2                       2                                 /pi*x\    |
   |x                                                     x*cot|----|    |
   \                                                           \ 2  /    /
--------------------------------------------------------------------------
                                    /pi*x\                                
                               x*cot|----|                                
                                    \ 2  /

$$\frac{\pi \left(\frac{\pi^{2} \left(-1 + \frac{\cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + 1}{\cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right) \left(\cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + 1\right)}{2} - \frac{\pi \left(\cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + 1\right)}{x \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}} + \frac{2}{x^{2}}\right)}{x \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}$$

Упростить

Третья производная [src]

   /                                      /                                           2\                                                                       \
   |                                      |      /       2/pi*x\\     /       2/pi*x\\ |                                                  /            2/pi*x\\|
   |                                      |    5*|1 + cot |----||   3*|1 + cot |----|| |                                                  |     1 + cot |----|||
   |                   3 /       2/pi*x\\ |      \        \ 2  //     \        \ 2  // |                               2 /       2/pi*x\\ |             \ 2  /||
   |                 pi *|1 + cot |----||*|2 - ------------------ + -------------------|                           3*pi *|1 + cot |----||*|-1 + --------------||
   |                     \        \ 2  // |           2/pi*x\               4/pi*x\    |        /       2/pi*x\\         \        \ 2  // |          2/pi*x\  ||
   |                                      |        cot |----|            cot |----|    |   3*pi*|1 + cot |----||                          |       cot |----|  ||
   |       6                              \            \ 2  /                \ 2  /    /        \        \ 2  //                          \           \ 2  /  /|
pi*|- ------------ + ------------------------------------------------------------------- + --------------------- - --------------------------------------------|
   |   3    /pi*x\                                    4                                         2    2/pi*x\                             /pi*x\                |
   |  x *cot|----|                                                                             x *cot |----|                      2*x*cot|----|                |
   \        \ 2  /                                                                                    \ 2  /                             \ 2  /                /
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                               x

$$\frac{\pi \left(\frac{\pi^{3} \left(\cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + 1\right) \left(2 - \frac{5 \left(\cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + 1\right)}{\cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}} + \frac{3 \left(\cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + 1\right)^{2}}{\cot^{4}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)}{4} - \frac{3 \pi^{2} \left(-1 + \frac{\cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + 1}{\cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right) \left(\cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + 1\right)}{2 x \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}} + \frac{3 \pi \left(\cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + 1\right)}{x^{2} \cot^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}} - \frac{6}{x^{3} \cot{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)}{x}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Производная pi/x/cot(pi*x/2)

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Method #1

Method #2