Производная log(1-1/x)

1. Заменим $u = 1 - 1 \cdot \frac{1}{x}$.

2. Производная $\log{\left(u \right)}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(1 - 1 \cdot \frac{1}{x}\right)$:

   1. дифференцируем $1 - 1 \cdot \frac{1}{x}$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

         Таким образом, в результате: $\frac{1}{x^{2}}$

      В результате: $\frac{1}{x^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{1}{x^{2} \cdot \left(1 - 1 \cdot \frac{1}{x}\right)}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{1}{x \left(x - 1\right)}$

Ответ:

$\frac{1}{x \left(x - 1\right)}$