Производная log(cot(t)^(2))

1. Заменим $u = \cot^{2}{\left(t \right)}$.

2. Производная $\log{\left(u \right)}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d t} \cot^{2}{\left(t \right)}$:

   1. Заменим $u = \cot{\left(t \right)}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d t} \cot{\left(t \right)}$:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Method #1

         1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

            $\cot{\left(t \right)} = \frac{1}{\tan{\left(t \right)}}$

         2. Заменим $u = \tan{\left(t \right)}$.

         3. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

         4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d t} \tan{\left(t \right)}$:

            1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

               $\tan{\left(t \right)} = \frac{\sin{\left(t \right)}}{\cos{\left(t \right)}}$

            2. Применим правило производной частного:

               $\frac{d}{d t} \frac{f{\left(t \right)}}{g{\left(t \right)}} = \frac{- f{\left(t \right)} \frac{d}{d t} g{\left(t \right)} + g{\left(t \right)} \frac{d}{d t} f{\left(t \right)}}{g^{2}{\left(t \right)}}$

               $f{\left(t \right)} = \sin{\left(t \right)}$ и $g{\left(t \right)} = \cos{\left(t \right)}$.

               Чтобы найти $\frac{d}{d t} f{\left(t \right)}$:

               1. Производная синуса есть косинус:

                  $\frac{d}{d t} \sin{\left(t \right)} = \cos{\left(t \right)}$

               Чтобы найти $\frac{d}{d t} g{\left(t \right)}$:

               1. Производная косинус есть минус синус:

                  $\frac{d}{d t} \cos{\left(t \right)} = - \sin{\left(t \right)}$

               Теперь применим правило производной деления:

               $\frac{\sin^{2}{\left(t \right)} + \cos^{2}{\left(t \right)}}{\cos^{2}{\left(t \right)}}$

            В результате последовательности правил:

            $- \frac{\sin^{2}{\left(t \right)} + \cos^{2}{\left(t \right)}}{\cos^{2}{\left(t \right)} \tan^{2}{\left(t \right)}}$

         Method #2

         1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

            $\cot{\left(t \right)} = \frac{\cos{\left(t \right)}}{\sin{\left(t \right)}}$

         2. Применим правило производной частного:

            $\frac{d}{d t} \frac{f{\left(t \right)}}{g{\left(t \right)}} = \frac{- f{\left(t \right)} \frac{d}{d t} g{\left(t \right)} + g{\left(t \right)} \frac{d}{d t} f{\left(t \right)}}{g^{2}{\left(t \right)}}$

            $f{\left(t \right)} = \cos{\left(t \right)}$ и $g{\left(t \right)} = \sin{\left(t \right)}$.

            Чтобы найти $\frac{d}{d t} f{\left(t \right)}$:

            1. Производная косинус есть минус синус:

               $\frac{d}{d t} \cos{\left(t \right)} = - \sin{\left(t \right)}$

            Чтобы найти $\frac{d}{d t} g{\left(t \right)}$:

            1. Производная синуса есть косинус:

               $\frac{d}{d t} \sin{\left(t \right)} = \cos{\left(t \right)}$

            Теперь применим правило производной деления:

            $\frac{- \sin^{2}{\left(t \right)} - \cos^{2}{\left(t \right)}}{\sin^{2}{\left(t \right)}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{2 \left(\sin^{2}{\left(t \right)} + \cos^{2}{\left(t \right)}\right) \cot{\left(t \right)}}{\cos^{2}{\left(t \right)} \tan^{2}{\left(t \right)}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{2 \left(\sin^{2}{\left(t \right)} + \cos^{2}{\left(t \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(t \right)} \tan^{2}{\left(t \right)} \cot{\left(t \right)}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{4}{\sin{\left(2 t \right)}}$

Ответ:

$- \frac{4}{\sin{\left(2 t \right)}}$