Производная sqrt((x-1)/x)

Вы ввели [src]

    _______
   / x - 1 
  /  ----- 
\/     x

$$\sqrt{\frac{x - 1}{x}}$$

  /    _______\
d |   / x - 1 |
--|  /  ----- |
dx\\/     x   /

$$\frac{d}{d x} \sqrt{\frac{x - 1}{x}}$$

Преобразовать

Подробное решение

Заменим $u = \frac{x - 1}{x}$ .
В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$
Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x - 1}{x}$ :
1. Применим правило производной частного:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = x - 1$ и $g{\left(x \right)} = x$ .
  
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. дифференцируем $x - 1$ почленно:
    1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.
    2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
    В результате: $1$
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
  Теперь применим правило производной деления:
  
  $\frac{1}{x^{2}}$
В результате последовательности правил:

$\frac{1}{2 x^{2} \sqrt{\frac{x - 1}{x}}}$
Теперь упростим:

$\frac{1}{2 x^{2} \sqrt{\frac{x - 1}{x}}}$

Ответ:

$\frac{1}{2 x^{2} \sqrt{\frac{x - 1}{x}}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

      _______              
     / x - 1  / 1    x - 1\
x*  /  ----- *|--- - -----|
  \/     x    |2*x       2|
              \       2*x /
---------------------------
           x - 1

$$\frac{x \sqrt{\frac{x - 1}{x}} \left(\frac{1}{2 x} - \frac{x - 1}{2 x^{2}}\right)}{x - 1}$$

Упростить

Вторая производная [src]

                          /                   -1 + x\
    ________              |               1 - ------|
   / -1 + x  /    -1 + x\ |  2     2            x   |
  /  ------ *|1 - ------|*|- - - ------ + ----------|
\/     x     \      x   / \  x   -1 + x     -1 + x  /
-----------------------------------------------------
                      4*(-1 + x)

$$\frac{\sqrt{\frac{x - 1}{x}} \left(1 - \frac{x - 1}{x}\right) \left(\frac{1 - \frac{x - 1}{x}}{x - 1} - \frac{2}{x - 1} - \frac{2}{x}\right)}{4 \left(x - 1\right)}$$

Упростить

Третья производная [src]

                          /                                                           2                 \
                          |                                /    -1 + x\   /    -1 + x\      /    -1 + x\|
    ________              |                              3*|1 - ------|   |1 - ------|    3*|1 - ------||
   / -1 + x  /    -1 + x\ |1        1           1          \      x   /   \      x   /      \      x   /|
  /  ------ *|1 - ------|*|-- + --------- + ---------- - -------------- + ------------- - --------------|
\/     x     \      x   / | 2           2   x*(-1 + x)              2                2     4*x*(-1 + x) |
                          \x    (-1 + x)                  4*(-1 + x)       8*(-1 + x)                   /
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                  -1 + x

$$\frac{\sqrt{\frac{x - 1}{x}} \left(1 - \frac{x - 1}{x}\right) \left(\frac{\left(1 - \frac{x - 1}{x}\right)^{2}}{8 \left(x - 1\right)^{2}} - \frac{3 \cdot \left(1 - \frac{x - 1}{x}\right)}{4 \left(x - 1\right)^{2}} - \frac{3 \cdot \left(1 - \frac{x - 1}{x}\right)}{4 x \left(x - 1\right)} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x \left(x - 1\right)} + \frac{1}{x^{2}}\right)}{x - 1}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная sqrt((x-1)/x)

График:

Кусочно-заданная:

Решение