Производная sqrt((x+1)/x)

Вы ввели [src]

    _______
   / x + 1 
  /  ----- 
\/     x

$$\sqrt{\frac{x + 1}{x}}$$

  /    _______\
d |   / x + 1 |
--|  /  ----- |
dx\\/     x   /

$$\frac{d}{d x} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}$$

Преобразовать

Подробное решение

Заменим $u = \frac{x + 1}{x}$ .
В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$
Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x + 1}{x}$ :
1. Применим правило производной частного:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = x + 1$ и $g{\left(x \right)} = x$ .
  
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. дифференцируем $x + 1$ почленно:
    1. Производная постоянной $1$ равна нулю.
    2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
    В результате: $1$
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
  Теперь применим правило производной деления:
  
  $- \frac{1}{x^{2}}$
В результате последовательности правил:

$- \frac{1}{2 x^{2} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$
Теперь упростим:

$- \frac{1}{2 x^{2} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Ответ:

$- \frac{1}{2 x^{2} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

      _______              
     / x + 1  / 1    x + 1\
x*  /  ----- *|--- - -----|
  \/     x    |2*x       2|
              \       2*x /
---------------------------
           x + 1

$$\frac{x \sqrt{\frac{x + 1}{x}} \left(\frac{1}{2 x} - \frac{x + 1}{2 x^{2}}\right)}{x + 1}$$

Упростить

Вторая производная [src]

                        /                  1 + x\
    _______             |              1 - -----|
   / 1 + x  /    1 + x\ |  2     2           x  |
  /  ----- *|1 - -----|*|- - - ----- + ---------|
\/     x    \      x  / \  x   1 + x     1 + x  /
-------------------------------------------------
                    4*(1 + x)

$$\frac{\sqrt{\frac{x + 1}{x}} \left(1 - \frac{x + 1}{x}\right) \left(\frac{1 - \frac{x + 1}{x}}{x + 1} - \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x}\right)}{4 \left(x + 1\right)}$$

Упростить

Третья производная [src]

                        /                                                       2                \
                        |                              /    1 + x\   /    1 + x\      /    1 + x\|
    _______             |                            3*|1 - -----|   |1 - -----|    3*|1 - -----||
   / 1 + x  /    1 + x\ |1       1           1         \      x  /   \      x  /      \      x  /|
  /  ----- *|1 - -----|*|-- + -------- + --------- - ------------- + ------------ - -------------|
\/     x    \      x  / | 2          2   x*(1 + x)              2              2     4*x*(1 + x) |
                        \x    (1 + x)                  4*(1 + x)      8*(1 + x)                  /
--------------------------------------------------------------------------------------------------
                                              1 + x

$$\frac{\sqrt{\frac{x + 1}{x}} \left(1 - \frac{x + 1}{x}\right) \left(\frac{\left(1 - \frac{x + 1}{x}\right)^{2}}{8 \left(x + 1\right)^{2}} - \frac{3 \cdot \left(1 - \frac{x + 1}{x}\right)}{4 \left(x + 1\right)^{2}} - \frac{3 \cdot \left(1 - \frac{x + 1}{x}\right)}{4 x \left(x + 1\right)} + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x \left(x + 1\right)} + \frac{1}{x^{2}}\right)}{x + 1}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная sqrt((x+1)/x)

График:

Кусочно-заданная:

Решение