График функции y = sqrt(x-1)/x

Вы ввели [src]

         _______
       \/ x - 1 
f(x) = ---------
           x

$$f{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{x - 1}}{x}$$

f = sqrt(x - 1*1)/x

График функции

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\sqrt{x - 1}}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sqrt(x - 1*1)/x.
$$\frac{\sqrt{\left(-1\right) 1 + 0}}{0}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{\sqrt{x - 1}}{x^{2}} + \frac{1}{2 x \sqrt{x - 1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:

      ________ 
    \/ -1 + 2  
(2, ----------)
        2

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 2$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 2\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[2, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\frac{2 \sqrt{x - 1}}{x^{2}} - \frac{1}{x \sqrt{x - 1}} - \frac{1}{4 \left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2$$
$$x_{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\frac{2 \sqrt{x - 1}}{x^{2}} - \frac{1}{x \sqrt{x - 1}} - \frac{1}{4 \left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}}{x}\right) = - \infty i$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{2 \sqrt{x - 1}}{x^{2}} - \frac{1}{x \sqrt{x - 1}} - \frac{1}{4 \left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}}{x}\right) = \infty i$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2\right]$$

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x - 1}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x - 1}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt(x - 1*1)/x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x - 1}}{x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x - 1}}{x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\sqrt{x - 1}}{x} = - \frac{\sqrt{- x - 1}}{x}$$
- Нет
$$\frac{\sqrt{x - 1}}{x} = \frac{\sqrt{- x - 1}}{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

График функции y = sqrt(x-1)/x

График:

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

Решение