Производная sqrt(x/(x+1))

Вы ввели [src]

    _______
   /   x   
  /  ----- 
\/   x + 1

$$\sqrt{\frac{x}{x + 1}}$$

  /    _______\
d |   /   x   |
--|  /  ----- |
dx\\/   x + 1 /

$$\frac{d}{d x} \sqrt{\frac{x}{x + 1}}$$

Преобразовать

Подробное решение

Заменим $u = \frac{x}{x + 1}$ .
В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$
Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x}{x + 1}$ :
1. Применим правило производной частного:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = x$ и $g{\left(x \right)} = x + 1$ .
  
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. дифференцируем $x + 1$ почленно:
    1. Производная постоянной $1$ равна нулю.
    2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
    В результате: $1$
  Теперь применим правило производной деления:
  
  $\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}$
В результате последовательности правил:

$\frac{1}{2 \sqrt{\frac{x}{x + 1}} \left(x + 1\right)^{2}}$
Теперь упростим:

$\frac{1}{2 \sqrt{\frac{x}{x + 1}} \left(x + 1\right)^{2}}$

Ответ:

$\frac{1}{2 \sqrt{\frac{x}{x + 1}} \left(x + 1\right)^{2}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

    _______                                 
   /   x            /    1           x     \
  /  ----- *(x + 1)*|--------- - ----------|
\/   x + 1          |2*(x + 1)            2|
                    \            2*(x + 1) /
--------------------------------------------
                     x

$$\frac{\sqrt{\frac{x}{x + 1}} \left(x + 1\right) \left(- \frac{x}{2 \left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}\right)}{x}$$

Упростить

Вторая производная [src]

                         /                   x  \
    _______              |            -1 + -----|
   /   x    /       x  \ |2     2          1 + x|
  /  ----- *|-1 + -----|*|- + ----- + ----------|
\/   1 + x  \     1 + x/ \x   1 + x       x     /
-------------------------------------------------
                       4*x

$$\frac{\sqrt{\frac{x}{x + 1}} \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{\frac{x}{x + 1} - 1}{x} + \frac{2}{x + 1} + \frac{2}{x}\right)}{4 x}$$

Упростить

Третья производная [src]

                         /                                                           2                 \
                         |                                /       x  \   /       x  \      /       x  \|
    _______              |                              3*|-1 + -----|   |-1 + -----|    3*|-1 + -----||
   /   x    /       x  \ |  1       1           1         \     1 + x/   \     1 + x/      \     1 + x/|
  /  ----- *|-1 + -----|*|- -- - -------- - --------- - -------------- - ------------- - --------------|
\/   1 + x  \     1 + x/ |   2          2   x*(1 + x)           2                2        4*x*(1 + x)  |
                         \  x    (1 + x)                     4*x              8*x                      /
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                   x

$$\frac{\sqrt{\frac{x}{x + 1}} \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right) \left(- \frac{\left(\frac{x}{x + 1} - 1\right)^{2}}{8 x^{2}} - \frac{3 \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right)}{4 x \left(x + 1\right)} - \frac{3 \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right)}{4 x^{2}} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x \left(x + 1\right)} - \frac{1}{x^{2}}\right)}{x}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная sqrt(x/(x+1))

График:

Кусочно-заданная:

Решение