Производная sqrt(tan(x))

Решение

Вы ввели [src]

  ________
\/ tan(x)

$$\sqrt{\tan{\left(x \right)}}$$

d /  ________\
--\\/ tan(x) /
dx

$$\frac{d}{d x} \sqrt{\tan{\left(x \right)}}$$

Преобразовать

Подробное решение

Заменим $u = \tan{\left(x \right)}$ .
В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$
Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$ :
1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
  
  $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
2. Применим правило производной частного:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
  
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Производная синуса есть косинус:
    
    $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Производная косинус есть минус синус:
    
    $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
  Теперь применим правило производной деления:
  
  $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
В результате последовательности правил:

$\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{2 \cos^{2}{\left(x \right)} \sqrt{\tan{\left(x \right)}}}$
Теперь упростим:

$\frac{1}{2 \cos^{2}{\left(x \right)} \sqrt{\tan{\left(x \right)}}}$

Ответ:

$\frac{1}{2 \cos^{2}{\left(x \right)} \sqrt{\tan{\left(x \right)}}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

       2   
1   tan (x)
- + -------
2      2   
-----------
   ________
 \/ tan(x)

$$\frac{\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{\tan{\left(x \right)}}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

/       2   \ /                      2   \
|1   tan (x)| |    ________   1 + tan (x)|
|- + -------|*|4*\/ tan(x)  - -----------|
\4      4   / |                   3/2    |
              \                tan   (x) /

$$\left(4 \sqrt{\tan{\left(x \right)}} - \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\tan^{\frac{3}{2}}{\left(x \right)}}\right) \left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{4} + \frac{1}{4}\right)$$

Упростить

Третья производная [src]

              /                                                2\
/       2   \ |                 /       2   \     /       2   \ |
|1   tan (x)| |      3/2      4*\1 + tan (x)/   3*\1 + tan (x)/ |
|- + -------|*|16*tan   (x) - --------------- + ----------------|
\8      8   / |                    ________           5/2       |
              \                  \/ tan(x)         tan   (x)    /

$$\left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{8} + \frac{1}{8}\right) \left(16 \tan^{\frac{3}{2}}{\left(x \right)} - \frac{4 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\sqrt{\tan{\left(x \right)}}} + \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\tan^{\frac{5}{2}}{\left(x \right)}}\right)$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная sqrt(tan(x))

График:

Кусочно-заданная:

Решение