Производная sqrt(tan(x/2))

Решение

Вы ввели [src]

    ________
   /    /x\ 
  /  tan|-| 
\/      \2/

$$\sqrt{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}$$

  /    ________\
d |   /    /x\ |
--|  /  tan|-| |
dx\\/      \2/ /

$$\frac{d}{d x} \sqrt{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}$$

Преобразовать

Подробное решение

Заменим $u = \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$ .
В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$
Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$ :
1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
  
  $\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}$
2. Применим правило производной частного:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$ .
  
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Заменим $u = \frac{x}{2}$ .
  2. Производная синуса есть косинус:
    
    $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x}{2}$ :
    1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      Таким образом, в результате: $\frac{1}{2}$
    В результате последовательности правил:
    
    $\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Заменим $u = \frac{x}{2}$ .
  2. Производная косинус есть минус синус:
    
    $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x}{2}$ :
    1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      Таким образом, в результате: $\frac{1}{2}$
    В результате последовательности правил:
    
    $- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$
  Теперь применим правило производной деления:
  
  $\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$
В результате последовательности правил:

$\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}}{2 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \sqrt{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}}$
Теперь упростим:

$\frac{1}{2 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \sqrt{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}}$

Ответ:

$\frac{1}{2 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \sqrt{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

       2/x\ 
    tan |-| 
1       \2/ 
- + ------- 
4      4    
------------
    ________
   /    /x\ 
  /  tan|-| 
\/      \2/

$$\frac{\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} + \frac{1}{4}}{\sqrt{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

              /                        2/x\\
              |      ________   1 + tan |-||
/       2/x\\ |     /    /x\            \2/|
|1 + tan |-||*|4*  /  tan|-|  - -----------|
\        \2// |  \/      \2/        3/2/x\ |
              |                  tan   |-| |
              \                        \2/ /
--------------------------------------------
                     16

$$\frac{\left(4 \sqrt{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}} - \frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1}{\tan^{\frac{3}{2}}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) \left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right)}{16}$$

Упростить

Третья производная [src]

              /                                                2\
              |                 /       2/x\\     /       2/x\\ |
              |               4*|1 + tan |-||   3*|1 + tan |-|| |
/       2/x\\ |      3/2/x\     \        \2//     \        \2// |
|1 + tan |-||*|16*tan   |-| - --------------- + ----------------|
\        \2// |         \2/         ________          5/2/x\    |
              |                    /    /x\        tan   |-|    |
              |                   /  tan|-|              \2/    |
              \                 \/      \2/                     /
-----------------------------------------------------------------
                                64

$$\frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \left(16 \tan^{\frac{3}{2}}{\left(\frac{x}{2} \right)} - \frac{4 \left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right)}{\sqrt{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}} + \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right)^{2}}{\tan^{\frac{5}{2}}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)}{64}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная sqrt(tan(x/2))

График:

Кусочно-заданная:

Решение